DEA模型复现介绍：非对称纳什-核心讨价还价成本分摊三模型（固定成本 + 可变成本）
DEA模型复现介绍：非对称纳什-核心讨价还价成本分摊三模型
一、论文基本信息
论文题目： 基于非对称纳什合作博弈理论的DEA成本分摊研究（Cost allocation method using asymmetrical Nash bargaining DEA game） 作者： 王青筠（导师：孟凡永 教授） 单位： 中南大学 管理科学与工程 年份： 2024 年 5 月（硕士学位论文，71 页，2 图 18 表 83 篇参考文献） 同题英文期刊版： Fixed cost allocation using asymmetrical core-Nash bargaining DEA game, Journal of the Operational Research Society, 2023/2024
这篇论文做的是成本分摊里一个非常经典、又非常容易被做浅的问题：
一组同质的决策单元（DMU）共同使用一个平台、共享一套资源时，产生的共同成本应该怎么分，才能让所有人都愿意继续合作？
它给出的答案是：把 DEA 的效率评价能力，和合作博弈的分配理论缝在一起——用 DEA 客观测算"谁承担得起多少"，用非对称纳什讨价还价决定"谁该分多少"，再用核心（Core）保证"这个方案没人想反悔"。
二、这篇论文为什么要做三套模型？
成本分摊的痛点，论文概括为一个词："自私困境"（self-interest dilemma）。
传统 DEA 的特点是完全独立决策：每个 DMU 只优化自己。于是当每个 DMU 都试图少分摊一点时，总成本无法被完整分配，中央决策者的目标落空。
论文的解决路径是一条递进的三级台阶：
- 模型一（第 3 章）：先解决"公平"——引入不满意度与非对称议价能力，让分配结果唯一且可解释；
- 模型二（第 4 章）：再解决"稳定"——只有公平还不够，还要保证大联盟不会分裂，于是构造具有非空核心的联盟合作博弈；
- 模型三（第 5 章）：最后解决"现实"——很多情况下成本不是固定的，DMU 合作后成本会下降，这时该怎么分？
三套模型共享同一条主线：
用 DEA 算出客观边界，用非对称纳什讨价还价选出唯一公平解，用核心锁住联盟稳定性。
三、三个模型的核心公式
这一部分是整篇论文的技术骨架。如果你只想要"一眼看懂它在干什么"，看这三个公式就够了。
3.1 模型一：基于不满意度的非对称纳什讨价还价 DEA 固定成本分摊
第一步，先给每个 DMU 定出"能承受的区间"。 论文从效率最大化视角，求解每个 DMU 分摊成本的上下界：
\[ \begin{aligned} \max\Big/\min\;\; & R_d \\ \text{s.t.}\;\; & R_j=\sum_{r=1}^{q}u_ry_{rj}-\sum_{i=1}^{m}v_ix_{ij},\quad j=1,\dots,n\\ & \sum_{j=1}^{n}R_j=R\\ & v_i\ge 0,\;\; u_r\ge 0,\;\; R_j\ge 0 \end{aligned} \]
其中 \(R\) 是待分摊的固定成本总额，\(u_r\)、\(v_i\) 是对所有 DMU 共同的产出/投入权重。解出上界 \(\overline{R}_j\) 与下界 \(\underline{R}_j\) 后，不满意度定义为：
\[ \rho_j=\frac{R_j-\underline{R}_j}{\overline{R}_j-\underline{R}_j},\qquad j=1,\dots,n \]
这个定义很巧：它把每个 DMU 分摊到的成本，映射成它在"最理想"与"最不愿接受"之间的相对位置，取值恰好落在 \([0,1]\)。
第二步，用交叉效率定义议价能力。 论文没有人为预设权重，而是用仁慈型交叉效率中的自评效率 \(E_j^{*}\) 与同行评价效率 \(E_j^{peer*}\) 之差来刻画"这个 DMU 有多容易被别人质疑"：
\[ \varphi_j=\frac{E_j^{*}-E_j^{peer*}}{\sum_{j=1}^{n}\left(E_j^{*}-E_j^{peer*}\right)},\qquad \sum_{j=1}^{n}\varphi_j=1 \]
第三步，把两者放进非对称纳什讨价还价模型：
\[ \begin{aligned} \max\;\; & \prod_{j=1}^{n}\left(\frac{R_j-\underline{R}_j}{\overline{R}_j-\underline{R}_j}\right)^{\varphi_j} \\ \text{s.t.}\;\; & R_j=\sum_{r=1}^{q}u_ry_{rj}-\sum_{i=1}^{m}v_ix_{ij},\quad j=1,\dots,n\\ & \sum_{j=1}^{n}R_j=R,\qquad v_i\ge 0,\;\; u_r\ge 0 \end{aligned} \]
论文 定理 3-1 证明：取对数后目标函数是严格凸规划，因此该模型存在全局唯一最优解。
这一步是全文的"方法论心脏"：指数 \(\varphi_j\) 让议价能力强的 DMU 承担更多成本，而乘积形式保证所有 DMU 的不满意度被"均衡化"。
3.2 模型二：核心-非对称纳什讨价还价 DEA 固定成本分摊
模型一保证了公平与唯一，但它只强调个体理性与帕累托有效——不保证大联盟的稳定。
论文的补救方式很漂亮：构造一个具有非空核心的合作博弈。
先定义议价能力（这一章升级为双因素）：
\[ \varphi_j=\lambda P_j+(1-\lambda)Q_j \]
其中 \(Q_j\) 是标准化后的自评-他评差距，\(P_j\) 是运营规模：
\[ P_j=\sum_{i=1}^{m}\hat{x}_{ij}+\sum_{r=1}^{q}\hat{y}_{rj},\qquad \hat{x}_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sum_{j=1}^{n}x_{ij}},\qquad \hat{y}_{rj}=\frac{y_{rj}}{\sum_{j=1}^{n}y_{rj}} \]
论文取 \(\lambda=0.5\)，即"规模"与"被质疑程度"等权。
再构造联盟成本上界 \(C(K)\)： 对任意联盟 \(K\)，在所有 DMU 分摊后效率不降低的前提下，求该联盟能承担的最大成本：
\[ \begin{aligned} C(K):\;\;\max\;\; & \sum_{j\in K}R_j \\ \text{s.t.}\;\; & \sum_{r=1}^{q}u_ry_{rj}-E_j^{*}\Big(\sum_{i=1}^{m}v_ix_{ij}+R_j\Big)\ge 0,\quad \forall j\\ & \sum_{r=1}^{q}u_ry_{rj}-\sum_{i=1}^{m}v_ix_{ij}-R_j\le 0,\quad \forall j\\ & \sum_{r=1}^{q}u_r\sum_{j\in K}y_{rj}-\sum_{i=1}^{m}v_i\sum_{j\in K}x_{ij}-\sum_{j\in K}R_j=0\\ & \sum_{j=1}^{n}R_j=R \end{aligned} \]
特征函数（收益型博弈）：
\[ v(K)=\sum_{j\in K}C_j-C(K) \]
论文证明 \(v\) 具有超可加性、且是均衡博弈（定理 4-1 ~ 4-3），从而核心非空。最后把核心约束嵌进讨价还价模型：
\[ \begin{aligned} \max\;\; & \prod_{j=1}^{n}\left(\frac{C_j-R_j}{R}\right)^{1/\varphi_j}\\ \text{s.t.}\;\; & \sum_{r=1}^{q}u_ry_{rj}-E_j^{*}\Big(\sum_{i=1}^{m}v_ix_{ij}+R_j\Big)\ge 0,\quad\forall j\\ & \sum_{j\in K}R_j\le C(K),\qquad \forall K\in P(N)\setminus N\\ & \sum_{j=1}^{n}R_j=R,\qquad R_j\ge0 \end{aligned} \]
注意指数从 \(\varphi_j\) 变成了 \(1/\varphi_j\)：因为效用从"成本型"\(R_j\) 换成了"利润型"\(C_j-R_j\)，议价能力的方向要做倒数处理（论文注释 4-2 给出了完整的单调性证明）。
定理 4-5 同样证明了全局唯一最优解。
3.3 模型三：核心-非对称纳什讨价还价 DEA 可变成本分摊
现实里更常见的是：DMU 通过合作共享信息、互相学习，成本会下降。这时"共同成本"本身是待测量的。
论文先用 DEA 求出联盟 \(K\) 的理想（最低）成本：
\[ C(K)=\min\;\sum_{i=1}^{m}p_i\sum_{d\in K}x'_{id} \quad\text{s.t.}\quad \sum_{j\in K}\lambda_jx_{ij}\le\sum_{d\in K}x'_{id},\;\; \sum_{j\in K}\lambda_jy_{rj}\ge\sum_{d\in K}y_{rd} \]
其中 \(p_i\) 是投入单价，\(x'_{id}\) 是合作后的理想投入（决策变量）。
成本效率（即议价能力）：
\[ \varphi_j=\rho_j(N)=\frac{\sum_{i=1}^{m}p_ix'^{N*}_{ij}}{\sum_{i=1}^{m}p_ix_{ij}} \]
成本型特征函数：
\[ v(K)=\sum_{i=1}^{m}p_i\sum_{d\in K}x'^{*}_{id} \]
与第 4 章不同，这里是次可加的（定理 5-2）——合作越充分，总成本越低。论文进一步证明其核心非空（定理 5-3）。
最终分摊模型：
\[ \max\;\prod_{j=1}^{n}\left(\frac{h_j-h_j^{l}}{h_j^{u}-h_j^{l}}\right)^{1/\varphi_j} \quad\text{s.t.}\quad \sum_{j\in K}h_j\le v(K),\;\;\forall K,\qquad \sum_{j\in N}h_j=v(N) \]
其中 \(h_j^{l}\)、\(h_j^{u}\) 由谈判破裂点模型给出，是每个 DMU 能接受的成本下界与上界。
四、三个模型的递进关系
把三套模型放在一起看，逻辑非常清晰：
| 模型一（第3章） | 模型二（第4章） | 模型三（第5章） | |
|---|---|---|---|
| 分摊对象 | 固定成本 | 固定成本 | 可变成本 |
| 议价能力来源 | 交叉效率自评-他评差距 | 差距 + 运营规模 | 成本效率 |
| 效用 | 不满意度 | 利润 \(C_j-R_j\) | 相对理想成本的改善 |
| 博弈类型 | 非对称纳什讨价还价 | 非对称纳什 + 核心 | 非对称纳什 + 核心 |
| 保证性质 | 唯一性、公平性 | 唯一性、公平性、联盟稳定性 | 同左，且刻画合作降本 |
| 理论支撑 | 定理 3-1 | 定理 4-1 ~ 4-5 | 定理 5-1 ~ 5-4 |
一句话概括递进逻辑：
模型一解决"分得公不公平"；模型二解决"分了之后会不会有人退出"；模型三解决"合作本身让成本变了怎么办"。
五、这套模型难复现在哪里
从复现者角度，这篇论文的难度不在公式本身，而在三个隐蔽的工程陷阱：
1. 三层嵌套的求解结构
每个模型都不是"一个 LP 一次性吐结果"，而是：
- 外层：非线性纳什讨价还价（需 NLP 求解器）；
- 中层：联盟特征函数——对 \(2^n\) 个子集逐个求解 LP（12 个 DMU 就是 4095 个 LP）；
- 内层：DEA 效率评价与交叉效率（每个 DMU 一次 LP）。
以第 4 章为例，核心约束多达 4094 条，配合非线性目标，是一道标准的"大规模 MINLP 味道"的题。
2. 目标函数的数值尺度陷阱（最关键）
这一点在论文正文里完全看不出来，但它是复现成败的分水岭：
| 章节 | 目标函数形式 | 指数之和 | 目标值量级 |
|---|---|---|---|
| 第 3 章 | \(\prod(\cdot)^{\varphi_j}\) | \(\sum\varphi_j=1\) | \(\approx 0.51\) |
| 第 4 章 | \(\prod(\cdot)^{1/\varphi_j}\) | \(\sum 1/\varphi_j=51.6\) | \(\approx 1.3\times10^{-53}\) |
| 第 5 章 | \(\prod(\cdot)^{1/\varphi_j}\) | \(\sum 1/\varphi_j=49.5\) | \(\approx 10^{-45}\) |
第 4、5 章的目标值落在 \(10^{-53}\) 量级——这是通用非线性求解器（LINGO、Excel Solver）的噩梦：梯度下溢、收敛判据失效、迭代提前终止。而第 3 章因为指数是 \(\varphi_j\)（和为 1），目标值在 0.5 量级，求解非常稳定。
这就是为什么第 3 章能逐项复现，而第 4、5 章的最终结果对不上。（详见第八节）
3. "唯一解"的背后其实是凸规划
论文反复强调"全局唯一最优解"，这不是装饰——它意味着：
- 只要模型写对，解就是确定的，不存在"求解器不同结果不同"的借口；
- 反过来说，一旦结果对不上，问题一定出在模型形式或求解精度上，而不是"算法选择"。
这条性质在复现中极其有用：它把"数值对不上"从一个模糊问题变成了一个可以精确定位的技术问题。
六、这次复现做了什么
技术栈：
- Julia 1.12.1
- JuMP 1.29.3
- HiGHS 1.20.1（全部线性规划：CCR、交叉效率、上下界、联盟成本、核心极值）
- Ipopt 1.13.0（全部非线性分摊模型）
覆盖论文第 3、4、5 章的全部 6 个算例：
| 算例 | 规模 | 说明 |
|---|---|---|
| 3.3 数值算例 | 12 DMU / 3 投入 2 产出 / \(R=100\) | Cook & Kress 经典数据集 |
| 3.4 案例分析 | 10 条生产线 / 4 投入 2 产出 / \(R=2000\) | 安徽某钢铁公司设备升级改造 |
| 4.3 数值算例 | 12 DMU / 同上 / \(R=100\) | 同数据集，验证核心约束 |
| 4.4 案例分析 | 11 省市 / 5 投入 3 产出 / \(R=26\) | 长江经济带水污染治理 |
| 5.3 数值算例 | 3 DMU / 2 投入 2 产出 | 可变成本基础算例 |
| 5.4 案例分析 | 12 家供货商 / 3 投入 2 产出 | 联合库存成本分摊 |
复现脚本完成的完整工作链：
- 实现 CCR 自评效率、仁慈型交叉效率、不满意度、运营规模、议价能力；
- 对 \(2^n-1\) 个联盟逐个求解特征函数 \(v(K)\)；
- 求解核心上下界（Core 的极值 LP）；
- 用 Ipopt 求解三个非对称纳什讨价还价模型；
- 输出与论文逐项对照的结果表（复现值 / 论文值并排）。
七、复现结果：哪些对上了
7.1 第 3 章：两组算例逐项吻合
12 个 DMU 的固定成本分摊结果（\(R=100\)）：
| DMU | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 论文 \(R^*\) | 7.54 | 8.57 | 8.13 | 8.51 | 8.74 | 10.16 | 7.13 | 9.22 | 9.65 | 8.21 | 1.82 | 12.34 |
| 复现 | 7.540 | 8.565 | 8.131 | 8.514 | 8.735 | 10.163 | 7.134 | 9.216 | 9.638 | 8.207 | 1.821 | 12.336 |
- 最大绝对偏差 0.0117；\(\sum R^*=100.000000\) 精确成立
- 组距 10.52（论文 10.52）、平均差 1.472（论文 1.474）
- 中间量 \(E^*\)、\(E^{peer*}\)、\(\varphi_j\)、上下界 全部吻合
安徽钢铁 10 条生产线算例（\(R=2000\)）同样逐项复现，最大偏差 0.0375，效用值偏差 ≤ 0.0007。
7.2 第 5 章数值算例：完全复现
| DMU | \(C_j\) | \(\varphi_j\) | \(h_j^{l}\) | \(h_j^{u}\) | 论文 \(h^*\) | 复现 \(h^*\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 59.00 | 0.7382 | 13.65 | 59.00 | 44.00 | 44.038 |
| 2 | 50.00 | 1.0000 | 20.09 | 50.00 | 42.55 | 42.527 |
| 3 | 49.00 | 1.0000 | 3.65 | 49.00 | 26.10 | 26.082 |
\(C(N)=112.6471\)（论文 112.65），\(\sum h^*\) 精确等于 \(C(N)\)。
7.3 第 4 章：中间量全对，最终解发现论文问题
第 4 章的全部中间量都精确复现：
| 量 | 论文值 | 复现值 |
|---|---|---|
| \(\varphi_j\)（议价能力） | 0.26 0.23 0.23 0.22 0.19 0.34 0.31 0.20 0.21 0.33 0.13 0.34 | 0.2569 0.2254 0.2335 0.2206 0.1898 0.3435 0.3112 0.2040 0.2091 0.3297 0.1341 0.3422 |
| \(C_j\)（单干上界） | 8.79 13.14 10.37 20.95 21.80 29.95 13.08 20.56 65.13 19.09 3.95 24.35 | 8.7859 13.1422 10.3673 20.9474 21.8032 29.9487 13.0807 20.5599 65.1331 19.0923 3.9468 24.3453 |
| 长江案例运营规模 \(P_{\text{江苏}}\) | 1.49 | 1.4925 |
但最终的 \(R^*\) 对不上——而且我们发现：问题出在论文这一侧。详见下一节。
八、这次复现最有价值的发现：论文的两处数值问题
复现到位的标志，不是"数字对上了"，而是知道为什么对不上。
8.1 第 4 章：论文报告的解不是模型的最优解
我们对论文给出的 12 个 \(R^*\) 做了三项检验：
证据一：论文解是可行的。 在模型全部约束下，最小违反量仅 0.0022（数值零），核心约束最大违反 0.0165（两位小数舍入量级）。
证据二：论文解精确满足一条"论文里没写"的约束。 用 \(R_j=\sum_r u_ry_{rj}-\sum_i v_ix_{ij}\) 拟合论文解，残差 RMS 仅 0.0030（12 个方程、5 个未知权重）。而这正是论文表 4-2 中"所有 DMU 分摊后效率 \(E_{post}\equiv 1.00\)"的原因——真实模型含有共同权重等式约束，但论文的模型 (4-11) 只写了不等式。
证据三：论文解不是最优解。
| 方案 | 目标函数值 \(\sum\frac{1}{\varphi_j}\ln\frac{C_j-R_j}{R}\) |
|---|---|
| 论文 \(R^*\) | −125.73 |
| 本次复现（论文模型口径） | −120.05 |
| 本次复现（补充共同权重约束后） | −120.68 |
论文解比最优解差 4.7%。而且从论文解出发，求解器会立即移开并收敛到最优解——说明它连局部最优都不是。
根因判断：第 4 章的目标是 12 项乘积、指数为 \(1/\varphi_j\)，目标值落在 \(10^{-53}\) 量级。这种尺度下，通用求解器（LINGO / Excel Solver）极易梯度下溢、提前终止，返回一个"可行但远非最优"的点——这与我们观察到的现象完全吻合。作为对照，第 3 章因为指数是 \(\varphi_j\)（目标值 0.5 量级），求解完全稳定、逐项复现。
我们的处理：给模型补上共同权重约束，重新求解并给出可用的分摊方案。
8.2 第 5 章案例：论文的联盟成本口径差 14.5%
第 5 章数值算例完全复现，但 12 家供货商案例中，论文报告 \(C(N)=76.05\)，而按论文模型 (5-4) 计算为 \(88.8976\)，比值为
\[ \alpha=\frac{76.05}{88.8976}=0.8554786 \]
这个 \(\alpha\) 不是巧合，用三重证据交叉验证：
证据一：\(5.3\) 数值算例中 \(\alpha=1.0000261\approx 1\)——说明模型实现无误，\(\alpha\) 是 5.4 案例特有的。
证据二：把复现的 \(h^{l}\) 乘以 \(\alpha\)，与论文的 \(h^{l}\) 逐项吻合，最大偏差从 2.3932 降到 0.0050：
| DMU | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 论文 \(h^{l}\) | 14.17 | 5.07 | 9.53 | 4.01 | 2.73 | 4.74 | 8.56 | 5.19 | 3.25 | 7.50 | 7.80 | 0.00 |
| 模型解 | 16.56 | 5.93 | 11.14 | 4.69 | 3.20 | 5.54 | 10.00 | 6.06 | 3.79 | 8.77 | 9.12 | 0.00 |
| \(\alpha\times\)模型解 | 14.17 | 5.07 | 9.53 | 4.01 | 2.73 | 4.74 | 8.55 | 5.19 | 3.25 | 7.50 | 7.80 | 0.00 |
证据三：由论文 \(h^{l}\)、\(h^{u}\) 反推的联盟成本下界，与 \(\alpha\cdot v_{model}(K)\) 在 22 个 \(|K|\ge10\) 的联盟中，有 20 个比值精确等于 1.000。
采用该口径后，复现结果与论文 11/12 个 DMU 的偏差 ≤ 0.63（占 \(C(N)=76.05\) 的 0.83%），\(\sum h^*=76.0500\) 精确等于论文的 \(C(N)\)。
同时我们还发现：论文的 \(h^*\) 前 11 个分量只比下界 \(h^{l}\) 高出 0.04~0.12（几乎贴着下界），差额全塞给了 DMU12——这是"求解器从下界出发、未真正迭代"的典型特征，与该章目标值 \(10^{-45}\) 量级的数值困境相互印证。
九、这套复现适合谁
- 做 DEA 成本分摊方向的研究生：三个模型可以直接作为方法章节的基线，公式、定理、代码全部对齐；
- 需要复现这篇论文的同学：我们踩过的坑（数值尺度、共同权重约束、联盟成本口径）你可以直接跳过；
- 做合作博弈 + DEA 交叉方向的研究者：这是一份"DEA 测边界 + 博弈定分配"的完整工程范例，\(2^n\) 联盟枚举 + 核心 LP + 非线性纳什的整套流水线可以直接迁移。
十、复现资料包包含什么
- Julia 复现脚本（模块化，可直接运行）：
dea_utils.jl：CCR 自评效率、仁慈型交叉效率、议价差距、运营规模、子集枚举chapter3.jl/chapter4.jl/chapter5.jl：三章模型完整实现run_all.jl：一键复现全部 6 个算例（实测约 75 秒）ch5_paper_scale.jl：论文口径复现（\(v(K)\) 按 \(\alpha\) 缩放）
- 诊断脚本：
diag4c/diag4d/diag4e.jl（第 4 章 16 种口径搜索 + 迭代轨迹实验）、diag5b/diag5c/diag5d.jl（第 5 章联盟成本反推） - 6 张结果对照表（CSV）：复现值与论文值并排，可逐项核对
- 两份报告：
复现报告.md（逐章结果）、诊断报告.md（两处数值问题的完整证据链）
运行环境：Julia 1.12 + JuMP 1.29 + HiGHS + Ipopt，全部开源免费。
十一、复现小结
这篇论文最值得把握的主线，可以概括成一句话：
用 DEA 客观测出"能承担多少"，用非对称纳什讨价还价决定"该分多少"，再用核心保证"没人愿意退出"。
三个模型层层递进：从不满意度到核心稳定性，从固定成本到可变成本，构成了一套完整的成本分摊方法论。
而从复现角度，这篇论文给我们的最大启示不是它的公式，而是这条经验：
当模型的"唯一最优解"是理论保证的，那么数值对不上就一定有原因——找到这个原因，比把数字凑对有价值得多。
这次我们不仅把第 3 章做到了逐项吻合、第 5 章数值算例完全复现，还把第 4、5 章论文侧的数值问题定位到了具体机制（\(1/\varphi_j\) 指数导致的目标函数数值下溢、未写明的共同权重约束、联盟成本口径差异），并给出了修正方案。
复现的最高境界，是比原论文更懂它的模型。
如果需要完整代码与复现资料包，请联系微信 canglang12002 任公子
