指标太多，DEA还怎么用？一种能自动‘挑变量’的进攻型方法
指标太多，DEA还怎么用？一种能自动“挑变量”的进攻型方法
做效率评价的人，几乎都遇到过这个尴尬。
明明想用数据包络分析（DEA）给一批对象打分，可指标一多，问题就来了：大家都变成有效了，分数全在 1 附近，谁也分不出高下。
这不是你不会用，而是 DEA 天生的毛病。它需要指标少、样本多，才有判别力。可实际情况往往反着来——评价对象就那么几十个，候选指标倒有上百个。
过去遇到这种情况，要么靠专家经验拍脑袋删指标，要么用主成分分析、相关系数这类统计办法做降维。但这些做法要么主观，要么跟 DEA 的初衷脱节。
今天想聊的，是把“选哪些指标”这件事直接做进 DEA 里的一种办法。它来自 2026 年发在 Expert Systems With Applications 上的一篇论文，叫 ACDEA，进攻型集中式 DEA 变量选择。
一、它的立场：进攻，而不是讨好
先看它跟传统做法最大的不同。
DEA 里常见的变量选择多是“仁慈型”——让每个评价对象挑对自己最有利的指标，尽量把大家都显得有效率。可大家都高效了，排名还有什么意义？判别力反而被牺牲。
ACDEA 反其道而行，走的是进攻型路线：专门挑那些最能暴露对象之间差距、最能拉开高低的指标。逻辑也很顺——既然 DEA 的本质就是找无效率，那变量选择就该尽量把无效率暴露出来，让判别力最大化。
一句话概括它的目标：
从一堆输入、输出指标里，自动挑出最能区分好坏的那几个，再用它们算效率分和排名。
二、它把问题拆成了两层
要用好一个方法，得先清楚它到底在算什么。ACDEA 的聪明之处，是把“选变量”这个组合问题，跟“给定变量后怎么评无效率”这个线性问题，拆成了两层。
先把记号摆出来。设输入指标为 \(i\)，输出指标为 \(k\)，评价对象（DMU）为 \(j, r\)，一共有 \(n\) 个对象，\(x_{ij}\) 是第 \(j\) 个对象在第 \(i\) 个输入上的取值，\(y_{kj}\) 是输出取值。用两个二值变量表示选还是没选：\(\delta^x_i\)、\(\delta^y_k\)，取值 1 表示选中。
给定一组选中的输入输出，评价这一组“够不够会区分好坏”的，是下面这个集中式 SBI-DEA 问题，它最大化样本整体的无效率：
\[ \text{SBI}(\delta^x,\delta^y) \;=\; \max \; \frac{1}{q}\left(\sum_{i:\delta^x_i=1}\frac{S^x_i}{X_i^{\text{tot}}} \;+\; \sum_{k:\delta^y_k=1}\frac{S^y_k}{Y_k^{\text{tot}}}\right) \]
约束是让所有对象一起投影到同一套前沿上：
\[ \sum_j \hat\lambda_j\, x_{ij} \;=\; X_i^{\text{tot}} - S^x_i \quad (\delta^x_i=1),\qquad \sum_j \hat\lambda_j\, y_{kj} \;=\; Y_k^{\text{tot}} + S^y_k \quad (\delta^y_k=1) \]
\[ \sum_j \hat\lambda_j = n,\qquad \hat\lambda_j \ge 0,\qquad S^x_i,\,S^y_k \ge 0 \]
其中 \(X_i^{\text{tot}}=\sum_r x_{ir}\)、\(Y_k^{\text{tot}}=\sum_r y_{kr}\) 是全体对象在该指标上的总量，\(\hat\lambda_j\) 是聚合后的强度变量，\(S^x_i\)、\(S^y_k\) 是松弛量，\(q\) 是当前选中的指标个数。
这里用了一个细节：衡量松弛时，分母用的是该指标的平均值，也就是方向向量取算术平均：
\[ g^x_i \;=\; \bar x_i \;=\; \frac{1}{n}\sum_r x_{ir},\qquad g^y_k \;=\; \bar y_k \;=\; \frac{1}{n}\sum_r y_{kr} \]
于是“选哪几个指标”就变成了一个双层结构：
- 上层：在二值选择变量 \(\delta^x,\delta^y\) 上搜索，这是个组合问题，指标一多就爆炸，论文用迭代局部搜索（ILS）去逼近；
- 下层：对每个候选的指标组合，解上面那个 LP，得到它的无效率 \(\text{SBI}\)，作为上层打分的依据。
\[ \max_{\delta^x,\delta^y}\; \text{SBI}(\delta^x,\delta^y) \quad\text{s.t.}\quad \sum_i\delta^x_i+\sum_k\delta^y_k = q \]
因为 \(\text{SBI}\) 越大，说明这组指标越会区分优劣，所以上层目标就是让它最大——这就是“进攻”在数学上的落点。
三、从“选变量”到“算分数”
选完变量，还得算出每个对象到底多少分。这一步用的是传统的非集中式 DEA，对每个对象单独投影一次，得到它的无效率：
\[ \text{SBI}_r(q) \;=\; \max \; \frac{1}{q}\left(\sum_{i:\delta^x_i=1}\frac{s^x_{ir}}{\bar x_i}\;+\;\sum_{k:\delta^y_k=1}\frac{s^y_{kr}}{\bar y_k}\right) \]
再换成常用的效率分，越接近 1 越有效：
\[ \text{Eff}_r(q) \;=\; \frac{1}{1+\text{SBI}_r(q)} \]
这里有个关键：指标加得越多，判别力其实越差——平均效率上升、有效单元变多，大家又挤到一起了。所以方法会在判别力下降到某个程度时停下来，只取前面几轮（判别力还不错的那段区间），对效率分做个加权平均，得到最终的综合得分：
\[ \text{CI}_r \;=\; \frac{2}{(q_{\max}-q_{\min}+1)(q_{\min}+q_{\max})}\sum_{q=q_{\min}}^{q_{\max}} q\cdot\text{Eff}_r(q) \]
这样处理有个好处：一个对象如果从早期就稳定排在前头，它多半是真正出色的，而不是靠最后几轮堆出来的。
另外，哪个指标被选中的次数多，就说明它在区分好坏这件事上更重要：
\[ \bar\delta_i \;=\; \frac{1}{q_{\max}-q_{\min}+1}\sum_{q=q_{\min}}^{q_{\max}}\delta_i(q) \]
这个信息，对找“关键驱动因素”很有用。
四、实际跑出来是什么样
我拿论文的例子走了一遍——用 SDR 2025 的可持续发展指标，给 38 个 OECD 国家打分，共 125 个指标、17 个类别。评价对象只有 38 个，指标却有 125 个，正是 DEA 最头疼的“指标多、样本少”。
下面这张表是不同指标数量下的判别力变化。注意看平均效率和有效国家数怎么随指标数一起涨——涨得越多，说明判别力掉得越快。
| 指标数 q | 平均效率 | 有效国家数 | 有效占比 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.235 | 1 | 2.6% |
| 5 | 0.478 | 6 | 15.8% |
| 10 | 0.670 | 13 | 34.2% |
| 12 | 0.778 | 20 | 52.6% |
| 17 | 0.944 | 32 | 84.2% |
读懂这张表的关键，是那个拐点：q 从 10 往上，有效国家占比一下子跳上去，判别力明显泄了。所以论文把用来算综合分（CI）的区间，定在 q=1 到 10，既保住判别力，又不至于漏掉太多维度。
最终的排名也很有意思。用 q=1…10 算出来的综合分，前两名——土耳其、哥伦比亚——和论文完全一致，新西兰、卢森堡、挪威也都排在前列：
| 国家 | 论文 CI | 复现 CI |
|---|---|---|
| 土耳其 | 1.000 | 1.000 |
| 哥伦比亚 | 0.990 | 0.990 |
| 新西兰 | 0.963 | 0.931 |
| 卢森堡 | 0.922 | 0.873 |
| 挪威 | 0.917 | 0.866 |
而那堆指标里，谁的“存在感”最强也很清楚。下表是每个指标在 q=1…10 里被选中的次数，次数越多，越说明它最能区分国家之间的差异：
| 指标 | 被选次数 |
|---|---|
| sdg2_trophic | 10 |
| sdg12_explastic | 9 |
| sdg9_womensci | 8 |
| sdg3_incomeg | 7 |
| sdg17_oda_govrev | 6 |
像 sdg2_trophic（人类营养级）几乎每轮都在，sdg13_ghginput（进口隐含温室气体）则从第 7、8 轮开始才进来。这说明前者是“长期稳定”的区分器，后者是“到一定维度才开始起作用”的区分器——这种信息，直接拿去写论文结论、找发力点，都很顺。
五、它适合什么场景
说到最合适的，就是指标多、样本少的那种。现实中很容易对上号：
- 给几十个城市、省份评一个发展或治理的综合指数；
- 给一批企业、医院、银行做绩效打分；
- 指标体系里指标远超评价对象，又不想靠专家主观删指标；
- 想要一个既能打分、又能说明“到底哪些指标在起作用”的结果。
六、一点使用上的体会
方法本身是成熟的，但真要用，有几个地方得留意。
一是数据。这类方法对数据年份很敏感，千万别把 2026 年的数据库当成 2025 年来用。再一个，有些指标官方只给了原始值、没给归一化分数，需要自己处理成统一口径，正反向也要分清楚——“越小越好”的指标可别当成“越大越好”。
二是上层是随机搜索的启发式，不像线性规划那样有唯一解。扰动次数、停止条件调一调，结果会有差别。我自己跑的时候，会把扰动调小一点，让变量选择更稳定。
这些都算实操细节，不难，但第一次用确实容易踩坑。
七、写在最后
我一直觉得，一个方法真要有用，不只是公式漂亮，而是让“多指标、小样本”这种棘手情况，有了一个能落地的路子。
ACDEA 给我的印象，不是它创造了什么新指标，而是它把变量选择这件事，从“靠经验拍脑袋”变成了一件可以自动、稳定、可解释的事。这对指标一堆、又都想兼顾的人，省心不少。
如果你也在做效率评价，或者正被“指标太多、分不出高下”困扰，欢迎来聊聊，说不定能互相帮上忙。需要进一步交流的，可以联系微信 canglang12002（任公子）。
