DEA模型复现介绍：部分集中化资源配置模型（Partial Centralization DEA）

一、论文基本信息

论文题目： DEA model for partial centralization resource allocation among independent subset of DMUs
期刊： Computers & Industrial Engineering
年份： 2023
作者： Weiwei Zhu, Yanjie Huang, Yu Yu

这篇文章研究的是一个很有现实意义的问题：

当一个大组织下面有多个相对独立的小分组时，每个分组只能在自己内部调配资源，但又希望资源分得更有效率，该怎么办？

作者提出了一种新的 DEA 资源配置思路，叫做：

部分集中化（Partial Centralization）DEA 资源配置模型

它既不同于完全分散式管理，也不同于完全统一集中管理，而是介于两者之间的一种更贴近现实管理场景的 DEA 建模方法。

二、这篇文章到底在解决什么问题？

很多组织在现实中都不是“全公司一盘棋”式地统一调资源，而是存在“分区管理、分组治理、分支机构独立经营”的情况。

例如：

银行的不同分行
医疗系统中不同地区医院
连锁加盟体系中的不同片区
教育系统中不同区域学校
企业集团中不同事业部

这些分组通常有以下特点：

组内可以协调资源，例如组内人员、预算、设备可以一定程度调整；
组间很难直接调资源，因为存在行政边界、地区边界、制度边界；
如果每个组只和自己组内单位比较效率，容易“眼界过窄”，产生“短视效应（myopia effect）”；
结果可能是组内看起来很高效，但放到更大范围里并不高效。

这篇文章的核心思想就是：

在某个子组内部进行资源优化时，不仅看本组 DMU，还要把组外同类 DMU 也纳入参考集。

这样做的目的，是让效率评价更真实，让资源配置更有激励作用。

三、什么是“部分集中化”？

1. 传统集中化 DEA

传统 centralized DEA 的思路是：

由一个中央决策者统一考虑所有 DMU；
目标是优化整个系统的总体资源利用效率；
所有单位都放在一个大集合里统一优化。

这适用于“强总部、强统一管理”的场景。

2. 本文提出的部分集中化 DEA

但现实中很多组织不是这样的。很多时候是：

各个分组内部独立管理；
每个分组只负责自己辖区内的单位；
但做效率评价时，如果只参考本组，就容易失真。

所以本文提出：

资源调整仍然在子组内部进行，但效率参考集扩大到更广义的同类 DMU 集合。

这就叫“部分集中化”。

一句话概括：

配置是局部的，参照是全局的。

这是这篇文章最核心的创新点。

四、模型的基本符号说明

设有：

总共 \(n\) 个 DMU；
每个 DMU 有 \(m\) 个投入；
每个 DMU 有 \(s\) 个产出；
第 \(j\) 个 DMU 的第 \(i\) 个投入记为 \(x_{ij}\)；
第 \(j\) 个 DMU 的第 \(r\) 个产出记为 \(y_{rj}\)。

同时，整个系统被分成若干个独立子集（group / subset）：

第 \(q\) 个管理者对应的子集为 \(I_q\)；
子集内 DMU 数量为 \(n_q\)。

对于资源重配置后的变量：

重配置后的投入记为 \(x'_{ik}\)；
重配置后的产出记为 \(y'_{rk}\)。

五、生产可能集：本文的理论基础

1. 集中化 DEA 的生产可能集

文中给出的集中化生产可能集可写为：

\[ P= \left\{ (x,y)\in \mathbb{R}_{+}^{m+s} \mid \sum_{j=1}^{n}\lambda_j x_j \le x, \sum_{j=1}^{n}\lambda_j y_j \ge y, \lambda_j \ge 0 \right\} \]

这里的含义是：

某个 DMU 是否“可行”，取决于是否能由参考集中其他 DMU 的线性组合来表示；
投入不超过当前值，产出不少于当前值。

2. 部分集中化 DEA 的生产可能集

本文把组外的同类 DMU 也纳入参考集，于是得到更广义的生产可能集：

\[ P'= \left\{ (x,y)\in \mathbb{R}_{+}^{m+s} \mid \sum_{j=1}^{n}\lambda_{jk}x_{ij}\le x_{ik},\ \forall i,\ k\in I_q, \]

\[ \sum_{j=1}^{n}\lambda_{jk}y_{rj}\ge y_{rk},\ \forall r,\ k\in I_q, \lambda_{jk}\ge 0 \right\} \]

与传统组内比较相比，这个集合更“大”，前沿面更严格，因此更容易拉低原本“虚高”的效率值。

这也是文中一个重要结论：

部分集中化下得到的效率值，通常比只在子组内部评价得到的效率值更低，也更真实、更有激励性。

六、本文提出的核心资源配置模型

文章最重要的内容，是建立了一个独立子集激励型资源配置模型。其目标是：

尽量减少投入；
尽量增加产出；
保持部分资源总量不变；
同时控制资源变化幅度，避免极端调整。

1. 目标函数

文中模型（3）的目标函数可以写成：

\[ \max \left[ \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s} \frac{\sum_{k\in I_q} y'_{rk}}{\sum_{k\in I_q} y_{rk}} - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} \frac{\sum_{k\in I_q} x'_{ik}}{\sum_{k\in I_q} x_{ik}} \right] \]

2. 目标函数的直观解释

这个目标函数非常有意思，它不是简单地“最大化总产出”或者“最小化总投入”，而是：

第一部分：鼓励产出增长；
第二部分：鼓励投入下降；
两者都采用比例形式，减少不同指标量纲差异的影响。

通俗理解：

希望在整体上“多出成果、少耗资源”。

七、模型约束条件及其管理含义

下面把模型中的关键约束逐条解释。

1. 前沿可达约束

\[ \sum_{j=1}^{n}\lambda_{jk}x_{ij} \le x'_{ik},\quad \forall i, k\in I_q \]

\[ \sum_{j=1}^{n}\lambda_{jk}y_{rj} \ge y'_{rk},\quad \forall r, k\in I_q \]

含义：

调整后的投入产出组合必须位于 DEA 可行前沿之内；
也就是说，优化结果不能脱离现实生产可能性。

2. 协调资源总量不变

对于协调型资源（coordination resources），满足：

\[ \sum_{k\in I_q} x'_{ik} = \sum_{k\in I_q} x_{ik}, \quad i\in D \]

这里 \(D\) 表示协调型投入指标集合。

这类资源的特点是：

总量固定；
只能在组内重新分配；
例如员工数量、编制、床位数、柜台数等。

3. 协调资源上界约束

\[ x'_{ik} \le \alpha_{ik}x_{ik}, \quad i\in D \]

含义：

某个 DMU 即使增加协调资源，也不能无限增加；
\(\alpha_{ik}\) 是最大允许放大倍数。

4. 优化型资源不可高于原值

对于非协调型资源（优化资源），文中设置：

\[ x'_{ik} \le x_{ik}, \quad i\notin D \]

含义：

这类资源更强调“节约”；
优化后应尽量下降，而不是增加。

5. 投入下界约束

\[ x'_{ik} \ge \underline{x}_{ik} \]

文中数值实验中常用的做法是设一个比例下界，例如原值的 0.9。

含义：

虽然要降投入，但不能降得太狠；
否则在现实管理中不可执行，也不公平。

6. 产出不能下降

\[ y'_{rk} \ge y_{rk} \]

含义：

资源优化之后，产出至少不能比原来更差；
这是“优化必须带来改进”的基本要求。

7. 产出增长上界约束

\[ y'_{rk} \le \beta_{rk}y_{rk} \]

含义：

避免模型给出“过于理想化”的增长目标；
防止出现虽然数学上可行、但管理上不可落地的方案。

八、本文中的两类资源划分：非常实用

这是文章一个非常值得关注的亮点。

作者把投入资源分成两类：

1. 优化资源（Optimization Resources）

特点：

可以通过优化减少使用量；
不要求组内总量守恒；
更强调“节约”和“压降”。

例如：

固定资产占用
冗余预算
重复配置设备
不必要资金沉淀

2. 协调资源（Coordination Resources）

特点：

组内总量固定；
只能在不同 DMU 之间重新分配；
更强调“结构优化”。

例如：

人员编制
医疗床位
某类固定额度资源
内部分配型预算

这个划分非常贴近现实，因为真实管理中并不是所有资源都能同样处理。

九、通俗理解：这个模型做了一件什么事？

如果用最接地气的话来说，这个模型做的是：

在一个分组内部重新分资源，但评价标准不能只看自己人，而要拿更大范围的同行来对标。

这样做会带来两个效果：

效率评价更真实：避免“自己跟自己比，看起来都不错”；
资源配置更有效：资源会更倾向流向真正更能产生产出的单位。

所以这不是一个单纯的 DEA 效率测算模型，而是一个：

带有激励机制的 DEA 资源配置模型

它不仅评价谁效率高，还进一步告诉你：

哪些单位应该减少某些投入；
哪些单位应该增加协调性资源；
哪些单位可以通过适度资源优化实现更高产出；
整个小组如何在“效率优先、兼顾公平”下达到更优配置。

十、模型的主要优点

下面这部分适合直接用于公众号文章中做“卖点提炼”。

优点1：比传统组内 DEA 更真实

传统做法如果只在本组内部评价，容易造成效率“虚高”。

本文通过引入组外同类 DMU 作为参考集，使得：

前沿面更严格；
效率值更真实；
评价结果更有压力，也更有激励意义。

优点2：兼顾效率和公平

很多资源配置模型一味追求效率，容易把资源极端集中到少数单位。

本文通过：

总量守恒约束；
上下界约束；
产出增幅约束；

让优化结果在现实中更容易被接受。

优点3：区分不同资源属性，建模更细致

把资源分成：

优化资源
协调资源

这比把所有投入统一处理更合理，尤其适合真实管理问题。

优点4：一步法直接给出配置结果

文章特别强调：

模型可以直接计算资源优化结果，而不需要复杂的模型重构或多次转换。

这对于复现、落地、软件开发都很友好。

优点5：很适合做咨询、软件和案例分析

这个模型特别适合做：

DEA 软件模块开发
行业案例咨询
区域资源配置分析
论文复现服务
效率提升方案输出

因为它不仅能算效率，还能输出具体调整建议。

十一、模型适用场景

本文模型非常适用于“分组治理 + 组内可调资源 + 组间难调资源”的场景。

典型适用行业包括：

1. 银行业

各分行下辖支行资源配置
人员、固定资产、存贷款结构优化
分行内部绩效改进

2. 医疗系统

各地区医院或基层医疗机构资源优化
医护人员、床位、设备配置调整
在区域内优化但参考更大范围医疗机构

3. 教育系统

不同区县学校资源配置
教师编制、经费、设备在区域内调配
用更广义学校群体做效率参考

4. 连锁经营 / 加盟体系

各片区门店内部资源协调
人员、库存、营销资源优化
解决片区内“自我比较”的短视问题

5. 企业集团 / 多事业部管理

事业部内部子公司资源调配
预算、人力、资产结构优化
兼顾分权管理和整体标杆对照

复现展示:

可以看到，复现结果于论文中的结果基本一致。

如果需要，请联系微信canglang12002 任公子