基尼系数双维度分解工具
基尼系数双维度分解计算工具
今天推出的是一个基尼系数双维度分解工具，之前的基尼系数分解，要么是基不同的子群，或者基于不同的分项，但是有时候我们需要同时基于分组和分项来研究，如GDP，既需要根据区域分组研究区域差异，也需要揭示总体差异的产业来源，这时候常用的泰尔指数、Dagum基尼系数分解就不再适用了。
这个基尼系数双维度分解是由Mussard在2004年提出，其主要理论如下：
给定一个样本总体$P$,其规模为$n$,均值为$\mu$,该总体划分为$k$ 个子群，每个子群可以表示为$P_i(\forall j,h=1$, 2,…,k)。每一个子群的均值和规模分别表示为$\mu_j$和$n_j$。基尼系数可以用下面的公式来计算，其中，$s_{p,i},s_{p,r}$分别表示样本总体$P$中的个体$i$、个体$r$ 的指标$\langle i=1,2,\cdots,n\rangle$。
$$
G=\frac{\hat{\sum}{i=1}\hat{\sum}{r=1}|x_{p,i}-x_{p,r}|}{2\mu n^{2}}
$$
总体指标被分成 $q$ 个来源 $x^m(m=1,2,\cdots,q)$ 。在样本总体 $P$ 中，每个个体的指标可以表示为：
$$
x_{{P,i}}=\sum{n=1}^{q}x_{P,i}^{m}
$$
由于
$$
\mid x_{p,i}-x_{p,r}\mid=x_{p,i}+x_{p,r}-2\mathrm{min}{x_{p,i},x_{p,r}}
$$
因此，总体$P$ 的基尼系数可以表示为：
$$
G=\frac{\sum_{i=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_{p,i}+x_{p,r}-2\min{x_{p,i},x_{p,r}}:\right)}{2\mu n^2}
$$
下面，根据总体指标来源对 2min${x_{p,i},x_{p,r}}$ 进行分解：
$$
\sum_{m=1}^{q} 2 x_{P, i r}^{* m}=2 \min \left{x_{P, i}, x_{P, r}\right}
$$
例如，令$2x_{p,i}=2\min{x_{p,i},x_{p,r}}$,如果$x_{p,i}=x_{p,i}^1+x_{p,i}^2$,那么
$$
\sum_{m=1}^{q}2x_{P,ir}^{^m}=2(x_{P,i}^{^1}+x_{P,i}^{^2})
$$
因此，基尼系数可以按照分项指标进行如下测度：
$$
G=\sum_{n=1}^{q}\left(\frac{\sum_{i=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{P,i}^{m}+x_{P,r}^{m}-2x_{P,ir}^{m})}{2\mu n^{2}}\right)
$$
上式表明基尼系数被分解成 q 个部分，每个部分就是该指标各分项指标对于总体差异的贡献。根据 Dagum的基尼系数分解方法，基尼系数可以按照子群进行分解:
$$
G=\frac{\sum_{j=1}^{k}\left(\sum_{i=1}^{n j}\left|x_{j, i}-x_{j, r}\right|\right)}{2 \mu n^{2}}+\frac{2 \sum_{j=2}^{k} \sum_{h=1}^{j-1}\left(\sum_{i=1}^{n j} \sum_{r=1}^{n h}\left|x_{j, i}-x_{h, r}\right|\right)}{2 \mu n^{2}}
$$
其中，$x_{j,r}$表示第$j$ 个子群中第 r 个个体的指标。按照 Dagum,基尼系数分解为两个部分：
$$
G=G_{{w}}+G{_{gb}}
$$
其中，$G_{w}$ 是区域内差异；$G{gb}$ 是区域间差异。基尼系数的双维分解可以按照如下公式进行：
$$
G=\sum_{m=1}^{q}\left{\frac{\sum_{j=1}^{k}\left[:\sum_{i=1}^{nj}:\sum_{r=1}^{nj}:(:x_{j,i}^{m}+x_{j,r}^{m}-2x_{j,ir}^{s:m}):\right]}{2\mu n^{2}}\right}+\sum_{m=1}^{q}\left{\frac{2\sum_{j=2}^{k}:\sum_{k=1}^{j-1}\left[:\sum_{i=1}^{nj}:\sum_{r=1}^{nk}:(:x_{j,i}^{m}+x_{k,r}^{m}-2x_{jk,ir}^{s:m}):\right]}{2\mu n^{2}}\right}
$$
该模型计算过程比较复杂，我们开发出相关工具，可以直接计算基尼系数的双维度分解，结果如下：
分别是组内GINI和组间GINI，其和应等于总体GINI。
我们这个工具特点之一，就是可以在结果中指明对应分组的名称，而非用数字代替，简洁明了。
有需要可以联系微信：canglang12002
