含有非期望产出的EBM模型及其改进模型

今天推出的是含有非期望产出的EBM模型及其两种改进模型。

参考文献：《基于数字经济要素组合的绿色全要素生产率提升研究中的模型》杜娟，张子承，王熠

本文构建了考虑非期望产出的改进EBM（epsilon-based measure）模型，并结合Malmquist指数测算了中国各省级行政区2016-2020年绿色全要素生产率指数。进一步运用模糊集定性比较分析方法，探索数字经济多个层级要素驱动绿色全要素生产率提升的组态效应。

原始EBM模型

原始的EBM模型由Tone和Tsutsui提出，综合考虑径向改进和非径向改进的混合距离函数。该模型充分利用投入和产出数据的信息，能够更加准确地衡量决策单元的相对效率水平。

\[ \begin{aligned} \min \rho_k = & \frac{\theta - \varepsilon_x \sum_{i=1}^{m} \frac{w_i^- s_i^-}{x_{ik}}}{\varphi + \varepsilon_y \sum_{r=1}^{s} \frac{w_r^+ s_r^+}{y_{rk}} + \varepsilon_b \sum_{p=1}^{q} \frac{w_p^b s_p^b}{u_{pk}}} \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{j=1}^{n} \lambda_j x_{ij} + s_i^- = \theta x_{ik}, \quad i = 1, 2, \ldots, m \\ & \sum_{j=1}^{n} \lambda_j y_{rj} - s_r^+ = \varphi y_{rk}, \quad r = 1, 2, \ldots, s \\ & \sum_{j=1}^{n} \lambda_j u_{pj} + s_p^b = \varphi u_{pk}, \quad p = 1, 2, \ldots, q \\ & \sum_{j=1}^{n} \lambda_j = 1 \\ & \lambda_j \geq 0, \quad j = 1, 2, \ldots, n \\ & s_i^- \geq 0, \quad i = 1, 2, \ldots, m \\ & s_r^+ \geq 0, \quad r = 1, 2, \ldots, s \\ & s_p^b \geq 0, \quad p = 1, 2, \ldots, q \end{aligned} \]

改进的EBM模型

本文提出了改进后的EBM模型及其超效率形式，较好地处理了实际生产过程中投入和产出同时存在的径向和非径向改进的情况。

\[ \begin{aligned} \min \rho_k = & \frac{\theta - \varepsilon_x \sum_{i=1}^{m} \frac{w_i^- s_i^-}{x_{ik}}}{\varphi + \varepsilon_y \left( \sum_{r=1}^{s} \frac{w_r^+ s_r^+}{y_{rk}} \right) + \varepsilon_b \left( \sum_{p=1}^{q} \frac{w_p^b s_p^b}{u_{pk}} \right)} \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{j=1}^{n} \lambda_j x_{ij} + s_i^- = \theta x_{ik}, \quad i = 1, 2, \ldots, m \\ & \sum_{j=1}^{n} \lambda_j y_{rj} - s_r^+ = \varphi y_{rk}, \quad r = 1, 2, \ldots, s \\ & \sum_{j=1}^{n} \lambda_j u_{pj} + s_p^b = \frac{1}{\varphi} u_{pk}, \quad p = 1, 2, \ldots, q \\ & \sum_{j=1}^{n} \lambda_j = 1 \\ & \theta \leq 1, \varphi \geq 1 \\ & \lambda_j \geq 0, \quad j = 1, 2, \ldots, n \\ & s_i^- \geq 0, \quad i = 1, 2, \ldots, m \\ & s_r^+ \geq 0, \quad r = 1, 2, \ldots, s \\ & s_p^b \geq 0, \quad p = 1, 2, \ldots, q \end{aligned} \]

超效率EBM模型

为了区分有效决策单元，本文建立了EBM超效率模型，实现对有效决策单元作进一步的排序。

\[ \begin{aligned} \min \tilde{\rho}_k = & \frac{\theta + \varepsilon_x \sum_{i=1}^{m} \frac{w_i^- s_i^-}{x_{ik}}}{\varphi - \varepsilon_y \left( \sum_{r=1}^{s} \frac{w_r^+ s_r^+}{y_{rk}} \right) - \varepsilon_b \left( \sum_{p=1}^{q} \frac{w_p^b s_p^b}{u_{pk}} \right)} \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{j=1, j \neq k}^{n} \lambda_j x_{ij} - s_i^- \leq \theta x_{ik}, \quad i = 1, 2, \ldots, m \\ & \sum_{j=1, j \neq k}^{n} \lambda_j y_{rj} + s_r^+ \geq \varphi y_{rk}, \quad r = 1, 2, \ldots, s \\ & \sum_{j=1, j \neq k}^{n} \lambda_j u_{pj} - s_p^b \leq (2 - \varphi) u_{pk}, \quad p = 1, 2, \ldots, q \\ & \sum_{j=1, j \neq k}^{n} \lambda_j = 1 \\ & \theta \geq 1, \varphi \leq 1 \\ & \lambda_j \geq 0, \quad j = 1, 2, \ldots, n \\ & s_i^- \geq 0, \quad i = 1, 2, \ldots, m \\ & s_r^+ \geq 0, \quad r = 1, 2, \ldots, s \\ & s_p^b \geq 0, \quad p = 1, 2, \ldots, q \end{aligned} \] 我们使用python对该模型进行了复现，结果如下: