中立性DEA交叉效率评价方法

在数据包络分析（DEA）对决策单元效率评价的方法中，对抗性DEA交叉效率方法把所有决策单元均视为敌对方，而仁慈性DEA交叉效率方法把所有决策单元均视为盟友，这是不符合实际的。为解决对抗性和仁慈性DEA交叉效率方法的弊端，提出了一种中立性DEA交叉效率方法，既不把决策单元视为盟友，又不把决策单元视为敌对方，而是从中立性的原则去选择权重，进而得出效率评价结果。这种权重选择策略更加客观和公正，更能应用于实践当中。

现有DEA交叉效率方法综述

假设有\(n\)个部门或单位（称为决策单元，Decision Making Units），这\(n\)个决策单元都是具有可比性的。每个决策单元都有\(m\)种类型的输入和\(s\)种类型的输出。对于第\(j\)个决策单元，记其第\(i\)种投入为\(x_{ij}\)，第\(r\)种产出为\(y_{ij}\)（\(i=1,2,\ldots,m; j=1,2,\ldots,n; r=1,2,\ldots,s\)）。

对于第\(k\)（\(k=1,2,\ldots,n\)）个决策单元，其CCR效率\(\theta_{kk}\)计算公式为： \[ \max \theta_{kk} = \frac{\sum_{r=1}^{s} u_{rk} y_{rk}}{\sum_{i=1}^{m} v_{ik} x_{ik}}. \] \[ s.t. \quad \theta_{j} = \frac{\sum_{r=1}^{s} u_{rk} y_{rj}}{\sum_{i=1}^{m} v_{ik} x_{ij}} \leq 1, \quad j=1,2,\ldots,n; \] \[ u_{rk} \geq 0, \quad r=1,2,\ldots,s; \] \[ v_{ik} \geq 0, \quad i=1,2,\ldots,m. \quad (1) \]

中立性交叉效率评价方法

模型（1）的最优目标值虽然唯一，但是最优解（\(u_{*rk}\)，\(v_{*ik}\)）并不一定唯一，这就导致了交叉效率值可能不唯一。为了解决这一问题，作者提出中立性交叉效率评价方法，主要思想是：当决策单元决定它的输入输出权重时，最关注的只是该权重是否有利于此决策单元评价值的计算，它不会关注是应该使其他决策单元最大还是最小。此方法的目标函数是使决策单元的所有输出指标的效率值最大化，约束条件与前面两种方法的约束条件相同。基于此种观点，得到以下中立交叉效率评价模型：

\[ \max \delta = \min_{r \in \{1,2,\ldots,s\}} \frac{u_{ro} y_{ro}}{\sum_{i=1}^{m} v_{io} x_{io}}. \] \[ s.t. \quad \theta_{*kk} = \frac{\sum_{r=1}^{s} u_{ro} y_{rk}}{\sum_{i=1}^{m} v_{io} x_{ik}}. \] \[ \theta_{j} = \frac{\sum_{r=1}^{s} u_{ro} y_{rj}}{\sum_{i=1}^{m} v_{io} x_{ij}} \leq 1, \quad j=1,2,\ldots,n; j\neq 0. \] \[ u_{ro} \geq 0, \quad r=1,2,\ldots,s. \] \[ v_{io} \geq 0, \quad i=1,2,\ldots,m. \quad (6) \]

目标函数里的分式表示\(DMUo\)（\(o=1,2,\ldots,n; o\neq k\)）中第\(r\)（\(r=1,2,\ldots,s\)）个输出指标的效率值；目标函数是求第\(r\)个输出指标效率值中最小的那个输出指标效率值的最大值；第一个约束条件表示权重\(u_{ro}\)，\(v_{io}\)应使得评价单元\(k\)满足最大效率，\(\theta_{*kk}\)为模型（1）中\(\theta_{kk}\)的最大值；第二个约束条件表示被评价单元\(o\)的效率值应小于或等于1。

线性化版本

模型（6）可转化为如下线性规划：

\[ \max \delta \] \[ s.t. \quad \sum_{i=1}^{m} v_{io} x_{io} = 1. \] \[ \sum_{r=1}^{s} u_{ro} y_{rk} = \theta_{*kk} \sum_{i=1}^{m} v_{io} x_{ik}. \] \[ \sum_{r=1}^{s} u_{ro} y_{rj} - \sum_{i=1}^{m} v_{io} x_{ij} \leq 0, \quad j=1,2,\ldots,n; j\neq 0. \] \[ u_{ro} y_{ro} - \delta \geq 0. \] \[ u_{ro} \geq 0, \quad r=1,2,\ldots,s. \] \[ v_{io} \geq 0, \quad i=1,2,\ldots,m. \] \[ \delta \geq 0. \quad (7) \]

然后利用模型（7）得出的最佳权重\(u_{*ro}\)和\(v_{*io}\)去计算其他\(DMUo\)（\(o=1,2,\ldots,n; o\neq k\)）的效率值，得到交叉效率矩阵，此矩阵每列的平均值即为\(DMUo\)的最终交叉效率值。

我们根据文献，开发了对应工具，计算该中立DEA模型，代码结果与论文结果对比如下：