网络SBM模型复现

今天推出的是网络SBM模型。

传统的SBM模型处理关于多输入与多输出的dmu相对效率的测量。这些模型的缺点之一是忽略了中间产品或链接活动。在指出将中间产品纳入DEA模型的需求后，作者提出了一个基于松弛的网络DEA模型，称为网络SBM，它可以形式化地处理中间产品。使用该模型，我们可以评估部门效率以及决策单位(dmu)的整体效率。

其结构图如下：

变量约束如下：

$$
$$\begin{aligned}
&\mathbf{x}{o}^{k}=\mathbf{X}^{k}\lambda^{k}+\mathbf{s}^{k-}\quad(k=1,\ldots,K), \
&\mathbf{y}{o}^{k}=\mathbf{Y}^{k}\lambda^{k}-\mathbf{s}^{k+}\quad(k=1,\ldots,K), \
&\mathbf{e}\lambda^{k}=1\quad(k=1,\ldots,K), \
&\lambda^{k}\geqslant\mathbf{0},\mathbf{s}^{k-}\geqslant\mathbf{0},\mathbf{s}^{k+}\geqslant\mathbf{0},(\forall k), \
&\text{where} \
&\mathbf{X}^{k}=(\mathbf{x}{1}^{k},\ldots,\mathbf{x}{n}^{k})\in R^{m_{k}\times n}, \
&\mathbf{Y}^{k}=(\mathbf{y}{1}^{k},\ldots,\mathbf{y}{n}^{k})\in R^{r_{k}\times n},
\end{aligned}$$
$$
不同阶段之间的链接约束如下，分为两种：

1、free：

链接活动是自由确定的(任意的)，同时保持输入和输出之间的连续性:

$$
\mathbf{Z}^{(k,h)}\lambda^h=\mathbf{Z}^{(k,h)}\boldsymbol{\lambda}^k,(\forall(k,h))
$$
2、fix：

“固定”链接值的情况。链接活动保持不变(非自由裁量):

$$
\mathbf{z}{o}^{(k,h)}=\mathbf{Z}^{(k,h)}\lambda^{h}\quad(\forall(k,h))\\mathbf{z}{0}^{(k,h)}=\mathbf{Z}^{(k,h)}\lambda^{k}\quad(\forall(k,h))
$$
下面是大家喜闻乐见的复现环节，主要复现了文献中表3的fixed链接和表4的free链接：

可以看到，结果与论文中的完全一致。

如果需要做该模型，请联系微信 canglang12002