综合评价模型复现介绍：基于偏联系数-证据理论耦合的膨胀土胀缩性动态评价
综合评价模型复现介绍：基于偏联系数-证据理论耦合的膨胀土胀缩性动态评价
一、论文基本信息
论文题目： 基于偏联系数-证据理论耦合模型的膨胀土胀缩性动态综合评价 作者： 刘秋燕、许小卫（安徽财经大学 管理科学与工程学院） 发表： 《兰州工业学院学报》2026, 33(3): 100–104 ｜ 文章编号: 2097-6909(2026)03-0100-05 基金： 安徽省高校科研计划重点项目（2023AH050267）
膨胀土吸水膨胀、失水收缩，每年造成的经济损失超过 900 亿元。要决定地基怎么处理，先得判定土体的胀缩等级。
论文的答案：用联系数的"同异反"把指标值与分级标准的符合/差异/对立关系量化，用证据理论把 5 个指标相互冲突的信息融合成一个概率分布，用距离函数把动态权重与熵权组合起来，最后用偏联系数把"定级"升级为"给出向邻近等级转化的趋势强度"。
二、模型骨架
模型由两个维度交叉而成，看懂这两个维度就看懂了全文。
维度一：两种权重（静态 + 动态）
| 静态权重 \(y\) | 动态权重 \(w\) | |
|---|---|---|
| 含义 | 指标本身的重要性 | 证据之间的相互支持程度（间接反映可靠性） |
| 算法 | 熵权法（式 28） | 证据向量夹角余弦（式 25~27） |
| 随样本变化 | 否 | 是 |
| 解决的问题 | 客观信息量被忽略 | 指标强冲突时动态权重失真 |
组合方式：距离函数 \(d(w,y)=\lVert w-y\rVert_2=\lvert\varepsilon-\theta\rvert\)，\(\varepsilon+\theta=1\)，得 \(l=\varepsilon w+\theta y\)。
维度二：两种输出（定级 + 趋势）
| 定级（静态结果） | 趋势（动态预测） | |
|---|---|---|
| 工具 | D-S 证据融合（式 9、10） | 偏联系数（式 3~5） |
| 输出 | 融合概率 \(F\) → 胀缩等级 | 支持度 \(U\) → 向相邻等级转化的倾向 |
| 读法 | 谁的 \(F\) 大就归哪一级 | 相邻两级 \(U\) 越接近，样本越"骑墙" |
评价体系：5 指标 × 4 等级
- 指标：液限 \(w_L\)、胀缩率 \(e_{pa}\)、塑性指数 \(I_p\)、自由膨胀率 \(F_s\)（效益型）、天然含水量 \(w\)（成本型，值越大等级越低）；
- 等级：Ⅰ(极高)、Ⅱ(高)、Ⅲ(中)、Ⅳ(低)。17 个样本中，1~12 为原状土，13~17 为石灰掺量 4%、6%、7%、8%、10% 的改良土。
三、核心公式（三个式子看懂全文）
① 分段线性"同异反"分量（式 12~15）——把"指标值 ↔︎ 分级标准"变成四元联系数：
\[\mu_{pj}=a_{pj}+b^1_{pj}I_1+b^2_{pj}I_2+c_{pj}J,\qquad a,b^1,b^2,c\in[-1,1]\]
四个分量分别对应 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 级：\(+1\) 完全属于该等级，\(-1\) 完全对立，\(0\) 正好落在相邻等级的分界线上；再由 \(\frac12+\frac12(\cdot)\) 映射到 \([0,1]\) 并归一化（式 16~18），得到相对隶属度矩阵 \(Q\)（\(5\times4\)）。
这一步是整个模型的"入口"，也是复现时唯一需要反推校正的地方——详见第六节。
② 基本概率赋值（式 19~21）——把"隶属度"变成"证据 + 不确定度"：
\[m_{ji}(R_{ji})=\frac{v_{pji}\max_i v_{pji}}{\sum_{i=1}^{4}v_{pji}},\qquad m_j(R_{j5})=1-\max_i v_{pji}\]
最受支持的等级拿到最大赋值，剩余部分作为该指标的不确定度归入辨识框架的"第 5 个焦点元素"。于是 5 个指标各自给出一条 5 维证据。
③ 偏联系数支持度（式 3~5、30）——全篇最有辨识度的一步：
\[\partial^+a=\frac{a}{a+b_1},\quad \partial^-b_1=\frac{b_1}{a+b_1},\quad \partial^+b_1=\frac{b_1}{b_1+b_2},\quad \partial^-b_2=\frac{b_2}{b_1+b_2},\quad \partial^+b_2=\frac{b_2}{b_2+c},\quad \partial^-c=\frac{c}{b_2+c}\]
把融合概率 \((F_1,F_2,F_3,F_4)\) 当作 \((a,b_1,b_2,c)\) 代入，得
\[U_{\rm I}=a+b_1\partial^+a,\quad U_{\rm II}=a\partial^-b_1+b_1+b_2\partial^+b_1,\quad U_{\rm III}=b_1\partial^-b_2+b_2+c\partial^+b_2,\quad U_{\rm IV}=b_2\partial^-c+c\]
三个关键点：① 取 \(\arg\max U\) 定级，但 \(U\) 同时携带了"转化方向"的信息——这是它区别于普通"取最大隶属度"的地方；② 式 (30) 里写的是 \(Ma\)，实际代入的必须是融合概率 \(F\)（复现时靠这一点才对上，见第五节）；③ "四次融合"是对均值证据反复自融合，不是把 5 条证据依次融合（见第五节）。
四、复现结果：哪些对上了
技术栈：Julia 1.12 +
纯标准库（LinearAlgebra / Printf /
Statistics，零第三方依赖），核心函数约 220
行 + 主程序约 190 行。
| 内容 | 结果 |
|---|---|
| p1 的评价矩阵 \(Q\)（20 个数） | 逐位一致（最大偏差 3.3e-5，仅 4 位小数舍入） |
| p1 的基本概率赋值 \(T\)（25 个数） | 逐位一致 |
| 定级规则（给定论文公布的 \(U\) 取 \(\arg\max\)） | 17/17 与论文所标等级一致 |
| 给定论文 \(Ma_1\) 的融合 \(F_1\) | 4 位小数一致（0.3592 / 0.4014 / 0.1862 / 0.0308，第 5 分量 0.0224） |
| 给定论文 \(Ma_1\) 的支持度 \(U_1\) | 4 位小数一致（0.5487 / 0.7182 / 0.3398 / 0.0572） |
| 表 3 分级（端到端 17 样本） | 14/17 一致 |
| 各样本 4 个等级的相对次序（Spearman 秩相关） | 中位 1.000，最小 0.800 |
| 剔除 4 个受论文数据影响的样本后的数值偏差 | 逐样本平均 0.056 |
| 稳健性：换用论文公布的全部权重参数重跑 | 等级结论 17/17 不变 |
那张 \(Q\) 矩阵是最有分量的一次独立验证：论文正文把 p1 五个指标的 \(Q\) 行、\(T\) 行全部印了出来，而这两张矩阵（45 个数）逐位命中：
| 指标 | 论文印出的 \(Q\) 行 | 本文程序 |
|---|---|---|
| \(w_L\)=50.0 | 0 0.5 0.5 0 | 完全一致 ✓ |
| \(e_{pa}\)=5.0 | 0.25 0.5 0.25 0 | 完全一致 ✓ |
| \(I_p\)=36.0 | 0.5039 0.4961 0 0 | 完全一致 ✓ |
| \(F_s\)=66.0 | 0 0.3667 0.5 0.1333 | 完全一致 ✓ |
| \(w\)=27.0 | 0 0.4 0.5 0.1 | 完全一致 ✓ |
（另有 5×5 的 \(T\) 矩阵 25 个数同样逐位命中，此处不展开。）
这 45 个数命中，把"公式读错了"这个可能性彻底排除了——因为分段线性函数的每一个拐点、每一段斜率都被这 45 个数钉死了。
五、值得说的第一个坑："四次融合"到底是哪一种？
论文步骤 4 只有一句话："利用证据理论式 (9~10) 对 \(Ma_{pi}\) 进行四次融合"。这句话有两种读法，而它们的差别大到离谱。
| 读法 A（我最初的直觉） | 读法 B（正确） | |
|---|---|---|
| 含义 | 5 条指标证据依次融合，正好 4 次运算：\(m_1\oplus m_2\oplus m_3\oplus m_4\oplus m_5\) | 对均值证据反复自融合：\(Ma\oplus Ma\)，再与自身融合，再两次，共 4 次（等价 \(Ma^{16}\)） |
| p1 的 \(F\) 从哪来 | 由 5 条指标证据融合得到 | 由论文公布的 \(Ma_1\) 融合得到 |
| 算出结果 | 0.0822 / 0.5055 / 0.2972 / 0.0228 | 0.3592 / 0.4014 / 0.1862 / 0.0308 |
| 与论文表 3 比对 | 完全对不上 | 4 位小数一致 ✓ |
| 定级结果 | Ⅱ 级（碰巧是对的） | Ⅱ 级 ✓ |
读法 A 的症状极具欺骗性：它算出来的等级是对的（p1 判Ⅱ级），只是数值对不上。所以很容易得出"论文表 3 大概是另一版数据"的结论而放弃——我最初就是卡在这里。
正解：结合式 (29) 把 5 个指标先压成一条均值证据 \(Ma\)，"四次融合"就是对这条证据反复自融合；这也与式 (30) 只用到 \((Ma_1,\dots,Ma_4)\) 一条向量的写法完全吻合。
经验：当一个环节怎么都对不上、但定性结论又对得上时，别急着怀疑数据——先把公式里每个符号的"身份"逐个换一遍。 本例中，式 (30) 里写的是 \(Ma\)、实际要用 \(F\)；"四次融合"的宾语是上一次的融合结果而不是 5 条证据。两处笔误叠加，正好把数值完全打乱，却不影响定级方向。
六、论文的三处数值问题
1. 式 (12)(13) 的阈值下标笔误
式 (12) 的中间分支写作 \(1-2(x-N_1)/(N_3-N_1)\)，式 (13) 的第三分支写作 \(1-2(x-N_2)/(N_4-N_2)\)。按字面代入，得不到论文自己印出来的 \(Q\) 和 \(T\)（例如 p1 的 \(w_L=50\)：按字面算 \(a=0\)，论文要求 \(a=-1\)）。
判定依据（与建模约定无关）：把四个分量理解为"该等级区间取 \(+1\)、相邻分界处取 \(-1\)、中间线性过渡"的分段线性函数后，必须把 \(N_3\to N_2\)、\(N_4\to N_3\)；此时 \(Q\)、\(T\) 共 45 个数逐位命中，且与论文正文"\(w_L=50\) 落在Ⅱ/Ⅲ级分界线上"的文字说明自洽。
结论：式 (14)(15) 与原文一致，式 (12)(13) 的中间分支下标应各前移一位。
2. 式 (30) 里符号写的是 \(Ma\)，实际代入的是 \(F\)
论文步骤 5 写作 \(U_p=\;\)(矩阵)\(\cdot(Ma_{p1},Ma_{p2},Ma_{p3},Ma_{p4})^{\rm T}\)。实测：代入 \(Ma\) 得 \(U_1=(0.1788,0.2360,0.1686,0.0586)\)，代入融合概率 \(F\) 得 \(U_1=(0.5487,0.7182,0.3398,0.0572)\)——后者与论文公布的 \((0.5487,0.7180,0.3401,0.0573)\) 完全一致。
结论：\(U\) 是融合概率 \(F\) 的偏联系数，不是均值证据 \(Ma\) 的。
3. 均值证据 \(Ma_1\) 的第 5 分量在数学上不可能成立
论文公布 \(Ma_1=(0.1184,\;0.1232,\;0.0914,\;0.0339,\;\mathbf{0.6107})\)。但按式 (19)(21)(29) 用论文自己的 \(T\) 矩阵与 \(l_1=(0.2186,0.2132,0.2010,0.1762,0.1909)\) 计算，得到的是 \((0.0777,\;0.2287,\;0.1731,\;0.0213,\;\mathbf{0.4992})\)。
判定依据（与建模约定无关的纯代数事实）：
式 (29) 是一个凸组合（\(\sum_j l_j=1\)），而 p1 五个指标的不确定度最大只有 \(\max_j m_{j5}=0.5000\)，所以 \(Ma_1\) 的第 5 分量不可能超过 0.5。
| 量 | 论文公布 | 由论文自身 \(T\)、\(l_1\) 推出 | 判定 |
|---|---|---|---|
| \(Ma_1\) 第 5 分量 | 0.6107 | 凸组合上界 0.5000 | ★ 超出上界 22% |
| \(Ma_1\) 前 4 分量 | 0.1184 / 0.1232 / 0.0914 / 0.0339 | 联立后要求 \(l_3=-28.38\) | ★ 不可能是非负权重 |
更强的证据：把 17 个样本全部算一遍，\(Ma\) 的第 5 分量最大值恰好是 0.5000（p3），其余样本更低（p13 仅 0.3605）——0.6107 在任何样本上都不可能取到，这不是"某一个样本算错了"的问题。
已排除的解释：权重取值（换用论文公布的全部权重参数，结论 17/17 不变）、\(\varepsilon/\theta\) 取法、融合次序、\(T\) 矩阵的舍入、成本型指标处理、边界值与越界值处理——全部排除。
影响：论文表 3 中 p2、p10、p13 三个样本的数值无法由其自身 \(T\) 矩阵复现，这 3 个样本也正是分级不一致的全部来源（14/17）。
七、复现小结
这篇论文的主线可以概括成一句话：
用联系数的同异反把"指标值 ↔︎ 分级标准"的符合/差异/对立关系量化成矩阵，用证据理论融合相互冲突的指标信息，用距离函数把静态熵权与动态证据权组合起来，最后用偏联系数把"定级"升级成"给出向邻近等级转化的趋势强度"。
从复现角度，最大启示有两条：
第一条，关于公式里的符号：
当某个环节怎么都对不上、但定性结论又对得上时，先把公式里每个符号的"身份"逐个换一遍——不要急着怀疑数据。
第二条，关于"什么才算复现成功"：
能精确命中的部分要精确命中（\(Q\)、\(T\) 共 45 个数逐位一致，融合与支持度 4 位小数一致），命中不了的部分要能给出数学上的理由，而不是"差不多就行"。
这次模型的公式主干、算例的 \(Q\)/\(T\) 矩阵、融合环节与定级规则全部对齐；端到端 17 个样本定级 14/17 一致，各样本四个等级的相对次序几乎完全一致（秩相关中位 1.000）。剩下三处偏差——一处是公式下标笔误（已给出校正依据），一处是符号笔误（已由数值反证），一处经严格证明在数学上不可能成立——每一处都有可复算的依据。
复现的最高境界，是比原论文更懂它的模型。
复现资料包（Julia 全部脚本 + 17 样本逐格对照结果 + 完整说明文档），如需获取请联系微信 canglang12002 任公子
