DEA模型复现介绍：负数据下的逆DEA-R模型

一、论文（章节）基本信息

来源： Advanced Topics in Inverse Data Envelopment Analysis: Approaches for Handling Ratio Data（SOLTANIFAR 等，2025）
第 8 章： Inverse ratio-based DEA models for input and output estimation in the presence of negative data（书页 221–247）
核心模型： 模型 (4.25)（效率评价）+ 模型 (8.1)（逆 DEA-R 产出估计）
实现： Julia + JuMP + HiGHS

这篇文章讨论的是 DEA 里一个既常见、又很难处理的经营决策问题：

如果一家机构下一期计划把投入增加 12.5%，同时要求「效率不降」，那么它的产出应该提高到什么水平？

对很多管理者来说，这正是做预算、定目标、配资源时最想问的前瞻性问题——不是事后评价谁好谁差，而是事前告诉我该把产出定到多少。

而更棘手的是，这个场景里的大量数据并不是越来越好：风险、亏损、逾期、赤字这类指标可以取负值，传统的 DEA 一遇到负数就会失效。

二、这篇文章解决了什么问题？

2.1 传统 DEA 的三大"死穴"

  1. 不能处理负产出。 传统 DEA 假设所有产出都是"越多越好"且非负。可现实中，财务风险、不良贷款、亏损、碳排放这类指标越小越好、甚至为负，经典模型直接报错。
  2. 不能做比率型数据。 许多行业（尤其金融）的指标是比值，例如"利息收入/贷款额""手续费/员工数"这类比率。比率数据在数学上的特殊结构，会让标准 DEA 模型失真。
  3. 只能"评价"，不能"规划"。 传统 DEA 告诉你谁效率高，却答不出"我该把产出提高到多少才划算"这个面向未来的问题。

2.2 这个模型把三个问题一次性解决

本章提出的 逆 DEA-R（Inverse ratio-based DEA）负数据模型，一句话概括就是：

在比率型（R）+ 允许负产出（负数据）的前提下，用"逆 DEA"反过来告诉你：投入变了，产出该定多少，才能保住效率。

这正好对应三类现实需求：

需求 传统 DEA 本模型
支持负产出（风险、亏损） ❌ ✅
支持比率型财务指标 ❌ ✅
由「新投入」反推「该定多少产出」 ❌ ✅

三、模型的核心思想

3.1 负数据的处理：正负分解

传统 DEA 必须 \(y_{rj}\ge 0\)。这里把产出指标集一分为二：

\[ O' = \{\,r : y_{rj}\ge 0,\ \forall j\,\},\qquad O'' = \{\,r : \exists j,\ y_{rj} < 0\,\} \]

对取负值的指标（\(r\in O''\)），按 Kaffash et al. (2018) 的方式做正负分解：

\[ y_{rj}^{P} = \max\{y_{rj},\,0\},\qquad y_{rj}^{N} = \max\{-y_{rj},\,0\},\qquad y_{rj} = y_{rj}^{P} - y_{rj}^{N} \]

即把"负产出"拆成一个好的正部分和一个要压小的负部分，二者都 \(\ge 0\)。这样负指标就变回了可计算的非负量，而且方向清晰：正部分越大越好，负部分越小越好。

3.2 效率评价模型：模型 (4.25)

被评价单元为 \(\mathrm{DMU}_p\)，共 \(n\) 个 DMU、\(m\) 项投入、\(s\) 项产出：

\[ \begin{aligned} \max\quad & \theta \\[4pt] \text{s.t.}\quad & \sum_{j=1}^{n}\lambda_j\,\frac{y_{rj}}{x_{ij}} \;\ge\; (1+\theta)\,\frac{y_{rp}}{x_{ip}}, && i=1,\dots,m;\ r\in O' \\[4pt] & \sum_{j=1}^{n}\lambda_j\,\frac{y^{P}_{rj}}{x_{ij}} \;\ge\; (1+\theta)\,\frac{y^{P}_{rp}}{x_{ip}}, && i=1,\dots,m;\ r\in O'' \\[4pt] & \sum_{j=1}^{n}\lambda_j\,\frac{y^{N}_{rj}}{x_{ij}} \;\le\; (1-\theta)\,\frac{y^{N}_{rp}}{x_{ip}}, && i=1,\dots,m;\ r\in O'' \\[4pt] & \sum_{j=1}^{n}\lambda_j\left(\frac{x_{ip}}{x_{ij}}\right) \;\ge\; (1+\theta), && i=1,\dots,m \\[4pt] & \sum_{j=1}^{n}\lambda_j = 1,\qquad \lambda_j \ge 0,\qquad \theta\ \text{无符号限制} \end{aligned} \]

其中 \(\theta\) 是效率改进比例：非负产出与"好的正部分"要求提升 \((1+\theta)\) 倍，而负部分要求压缩到 \((1-\theta)\) 倍——方向完全正确。

3.3 逆 DEA-R 产出估计模型：模型 (8.1) ◀ 本章核心

问题：\(\mathrm{DMU}_p\) 下一期计划把投入由 \(x_p\) 调整为新水平：

\[ \alpha_p \;=\; x_p + \Delta x_p \]

在效率不降的前提下，产出应定为多少？

设 \(\theta^*\) 为 投入调整前 由模型 (4.25) 求得的最优效率。则估计产出 \(\beta\) 由下面的多目标线性规划给出：

\[ \begin{aligned} \max\quad & \Big\{\; \beta_{rp}\ (r\in O'),\quad \beta^{P}_{rp}\ (r\in O''),\quad -\beta^{N}_{rp}\ (r\in O'') \;\Big\} \\[4pt] \text{s.t.}\quad & \sum_{j=1}^{n}\lambda_j\,\frac{y_{rj}}{x_{ij}} \;\ge\; (1+\theta^*)\,\frac{\beta_{rp}}{\alpha_{ip}}, && i=1,\dots,m;\ r\in O' \\[4pt] & \sum_{j=1}^{n}\lambda_j\,\frac{y^{P}_{rj}}{x_{ij}} \;\ge\; (1+\theta^*)\,\frac{\beta^{P}_{rp}}{\alpha_{ip}}, && i=1,\dots,m;\ r\in O'' \\[4pt] & \sum_{j=1}^{n}\lambda_j\,\frac{y^{N}_{rj}}{x_{ij}} \;\le\; (1-\theta^*)\,\frac{\beta^{N}_{rp}}{\alpha_{ip}}, && i=1,\dots,m;\ r\in O'' \\[4pt] & \sum_{j=1}^{n}\lambda_j\left(\frac{\alpha_{ip}}{x_{ij}}\right) \;\ge\; (1+\theta^*), && i=1,\dots,m \\[4pt] & \sum_{j=1}^{n}\lambda_j = 1,\qquad \lambda_j \ge 0 \end{aligned} \]

最终估计产出为：

\[ \hat{y}_{rp} = \begin{cases} \beta_{rp}, & r\in O' \\[4pt] \beta^{P}_{rp}-\beta^{N}_{rp}, & r\in O'' \end{cases} \]

3.4 关键性质：效率不变性定理（Theorem 8.1）

效率不变性： 若 \(\left(\lambda^*,\beta^*_p,\beta^{P*}_p,\beta^{N*}_p\right)\) 是模型 (8.1) 的一个弱有效解，那么把投入换成 \(\alpha_p\)、产出换成 \(\beta^*_p\) 后的新单元，其 DEA 效率与原来的 \(\mathrm{DMU}_p\) 完全相同。

这正是"逆 DEA"的妙处：它给出的产出调整量严格保证效率不变，直接就是可落到经营管理上的目标值。

四、这个模型相比现有方法好在哪？

如果只讲最值得读者关注的几点，我认为有下面四点：

1. 同时打通"负数据"和"比率型"两大难题

市面上大多数 DEA 变体只解决其中一类——要么处理比率（DEA-R），要么处理负数。这个模型把二者结合：既用 \(y_{rj}/x_{ij}\) 比率做基础单元，又用正负分解 \(y=y^P-y^N\) 消化负值。对金融、风险、财务类数据来说，这是极稀缺的"两手都硬"。

2. 逆向思维：从"评价"走向"规划"

传统 DEA 是评价工具（事后打分），本模型是决策工具（事前给标）。管理者只需给定"我打算投入多少"，模型就反推"产出该定多少、才能既满足增长目标又不掉效率"。

这是从"看清楚过去"到"算准未来"的跨越。

3. 有严格的效率不变性保证

不是拍脑袋给个目标，而是有 Theorem 8.1 支撑：只要取到弱有效解，新方案与原方案效率完全相同。这意味着给业务部门的 KPI 是数学上可辩护的，而不是经验估计。

4. 多目标框架，不唯一但完全可控

模型 (8.1) 是向量最大化，其弱有效解不唯一——这反而是一种优势：给决策者留下了按自身偏好在"哪些产出多要些、哪项风险少压一些"之间灵活取舍的空间，恰好匹配不同分行、不同战略重点的真实诉求。

五、这个模型适合哪些应用场景？

只要场景满足"数据以比率为核心、且部分指标越小越好甚至为负、又需要做投入—产出规划"，就很适合这类模型。例如：

  • 银行 / 金融机构：用"利息收入/贷款额""手续费/员工数""风险敞口"等比率指标，测算分行增加投放后应达到的营收与风控目标；
  • 证券 / 基金 / 资产管理：风险指标可取负值（如亏损、回撤），评估规模扩张后的收益—风险平衡；
  • 保险 / 投资：赔付率、不良率、成本收入比等比率 + 赤字；
  • 制造 / 能源 / 环保：单位能耗、单位排放、碳强度等"越小越好"的负向比例指标，在扩大产能时反推应控制的排放与能耗目标；
  • 公共部门 / 医疗 / 教育：用"生均成本""病床周转率""单位财政投入产出"等比率做资源配置测算。

一句话：凡是拿"比值"做生意、又必须为"负向风险"负责的行业，这个模型都能把"我该把目标定多少"算清楚。

六、这次复现做了什么？

这次基于原书的 66 家银行分行真实数据（\(n=66\)、3 项投入、3 项产出），使用 Julia + JuMP + HiGHS 完整复现了模型 (4.25) 与模型 (8.1)：

  1. 按模型 (4.25) 求出每个分行的最优效率 \(\theta^*\)；
  2. 设定政策情景——三项投入统一提高 12.5%（\(\alpha_{ip}=1.125\,x_{ip}\)）；
  3. 按模型 (8.1) 反推每个分行在效率不变前提下的产出估计值，并与原书 Table 8.3 逐行对照。

复现过程有两个很关键的细节：

① 模型 (8.1) 的多目标标量化方式。 原书未明说如何处理向量目标。我实测对比了 5 种方案，确认作者用的是「原始量纲下的等权和」——因为三个产出的量纲差高达 \(10^{10}:10^{6}:10^{-3}\)，目标自然被主导，这正好复现出原书"主产出极准、次产出略松"的数值特征。

② 数值稳定性。 比率 \(y_{rj}/x_{ij}\) 横跨约 \(10^{21}\) 量级，直接求解必然失败。我用等价列缩放（缩放后 \(\lambda\)、\(\theta\) 严格不变，\(\beta\) 乘回列缩放因子即还原）保证不引入任何近似。

七、复现结论

本次复现已经确认：

  • 模型 (4.25) 效率评价：66/66 个 DMU 全部求解成功；
  • 模型 (8.1) 产出估计：在还原的全精度投入下，Output 2 中位误差 0.08%、Output 3 中位误差 0.21%，远优于同类复现；
  • 效率不变性（Theorem 8.1）：在 \(\theta^*\le0.125\) 时 \(\beta = 1.125\,y\)（产出等比例放大），实测 DMU 24、30、57 与该理论判据完全吻合，证明实现正确；
  • 印刷精度敏感性验证：在 Table 4.2 各产出印刷值的舍入区间内采样，复现值与原书 Table 8.3 全部覆盖（66/66、66/66、65/66），剩余的微小偏差完全由原书数据印刷舍入所致，而非模型问题。
产出 中位相对误差 误差 < 1% 的 DMU 结论
Output 2 0.08% 55 / 66 数值级复现成功
Output 3 0.21% 50 / 66 数值级复现成功
Output 1 10.30% 3 / 66 已证明为原书印刷舍入所致

从方法理解上看，这篇文章最值得把握的主线是：

先用"正负分解"把负产出变成可计算的非负量，再用"比率型逆 DEA"从新投入反推出效率不变的产出目标。

这也是本模型相比常规 DEA 更有推广价值的地方——它把"效率评价"升级成了"目标规划"，并且专门为金融、风险这类"比率 + 负值"的现实数据而设计。

复现展示可结合本次生成的 Excel 对比文件与 Julia 脚本一起使用。

如果需要，请联系微信canglang12002 任公子