DEA模型复现介绍：共享权重逆向 DEA 合并分析模型（CSW-Inverse DEA）

一、论文基本信息

论文题目： A novel model for merger analysis and target setting: A CSW-Inverse DEA approach
期刊： Expert Systems With Applications
年份： 2024
作者： Mehdi Soltanifar, Mojtaba Ghiyasi, Ali Emrouznejad, Hamid Sharafi

这篇文章研究的是 DEA 在并购与合并分析中的一个很重要的问题：

当两个或多个同类决策单元（DMU）准备合并时，如何在给定目标效率的前提下，反推出合并后的投入与产出目标？

传统 DEA 更擅长回答“谁有效率、谁无效率”；而这篇文章进一步讨论的是：

如果组织已经决定推进合并，那么合并后的新单位应该达到怎样的资源配置与产出水平，才能实现预期效率目标？

作者提出的核心方法是：

共享权重逆向 DEA 模型（CSW-Inverse DEA）

该模型将 DEA、Inverse DEA、Common Set of Weights（CSW）和 Goal Programming（目标规划） 结合起来，用于分析单次合并、多组合并，以及管理者偏好约束下的目标设定问题。

二、这篇文章到底在解决什么问题？

在现实管理中，合并并不是一个抽象概念，而是一个需要落地的资源重组过程。

例如：

银行要整合邻近支行；
医疗系统要合并区域机构；
企业集团要撤并重复职能部门；
高校或事业单位要推进机构重组。

这类问题通常都不只是“是否合并”的判断，还涉及一个更难的问题：

合并之后，效率目标设多少合适？
若目标效率给定，投入应降到多少？
若目标效率给定，产出应提高到多少？
多个候选合并方案中，哪些更有潜力？
如何让结果既满足数学最优，又尽量符合管理可执行性？

本文的核心思想就是：

不只评价合并是否有潜在效率收益，还进一步反推出合并后的目标投入产出结构。

这也是该模型相较于普通 DEA 评价模型最重要的区别。

三、什么是 CSW-Inverse DEA？

为了方便理解，这里把模型拆成四个部分。

1. DEA：效率评价基础

DEA（Data Envelopment Analysis）用于衡量多个同类 DMU 的相对效率。

在本文中，每个银行网点都被视为一个 DMU，使用投入和产出数据来测度效率。

2. Inverse DEA：从“算效率”变成“反推目标”

传统 DEA 是：

已知投入产出，求效率。

Inverse DEA 则反过来：

已知目标效率，求投入产出应该如何调整。

因此它特别适合做：

预算设计；
指标分解；
合并后目标设定；
重组方案优化。

3. CSW：公共权重评价

普通 DEA 的一个特点是：每个 DMU 都可以选一套最有利于自己的权重。

这会带来一个问题：

不同 DMU 用不同权重评价时，横向比较的统一性较弱。

CSW（Common Set of Weights）要求所有 DMU 尽量共用一套权重，这样做的好处是：

比较口径更一致；
更适合并购/合并方案比较；
可以在一个模型中同时分析多种合并情景。

4. Goal Programming：把多目标统一到一个框架中

本文中既有未参与合并的单位，也有参与合并后的新单位，因此目标并不只有一个：

未参与合并的 DMU，希望效率尽量接近原水平；
合并后的新 DMU，希望尽量达到预设效率目标；
整体偏差应尽量小。

作者通过目标规划把这些要求统一进一个模型中，并通过偏差变量来衡量“距离目标还有多远”。

一句话概括：

CSW-Inverse DEA 就是在统一权重体系下，用逆向 DEA 为合并方案反推目标值，并通过目标规划协调多个管理目标。

四、本文模型的基本结构

设共有：

\(n\) 个 DMU；
\(m\) 个投入；
\(s\) 个产出；
第 \(j\) 个 DMU 的第 \(i\) 个投入记为 \(x_{ij}\)；
第 \(j\) 个 DMU 的第 \(r\) 个产出记为 \(y_{rj}\)。

若若干个 DMU 将合并形成新单位 \(M\)，则：

合并后的目标投入记为 \(\alpha\)；
合并后的目标产出记为 \(\beta\)；
预期效率目标记为 \(E^*_M\)；
未参与合并 DMU 的原始效率目标记为 \(E^*_{jj}\)。

作者首先基于经典 DEA multiplier form 写出效率评价模型，然后将合并分析写成多目标分式规划模型，随后再通过目标规划和变量替换，把问题转化为可求解的线性规划模型。

这也是全文的重要技术路线：

经典 DEA 乘数模型；
引入合并后的目标投入产出变量；
构造多目标合并分析模型；
用目标规划处理多个目标；
线性化得到可求解的 LP 模型；
再扩展到多组合并同时分析。

五、本文中的核心模型思想

1. 单次合并分析

如果两个 DMU（例如 \(h\) 与 \(k\)）准备合并，模型希望同时实现两件事：

未参与合并的 DMU 尽量保持原有效率表现；
合并后的新单位尽量达到管理者设定的目标效率。

这意味着问题不是简单“求最大效率”，而是：

在统一评价权重下，寻找一组投入与产出目标，使系统中各单位对既定效率目标的偏差最小。

2. 多组合并同时分析

本文最大的亮点之一，在于它可以把多个待合并方案同时放进一个模型中求解。

例如：

B2 与 B3 合并；
B8 与 B9 合并；
B17 与 B19 合并。

传统方法往往需要逐个模型分别算；本文模型则可以：

在同一个 CSW 框架下，同时分析多组合并方案。

这对于组织级重组问题很有意义，因为现实中管理者面对的通常不是“单一合并决策”，而是一整组合并候选方案。

3. 管理者偏好的引入

作者进一步指出，单纯追求最优偏差可能会产生不够合理的目标，例如：

只大幅压低某一项投入；
或只抬高某一项输出；
结果虽然数学可行，但管理上难以执行。

因此论文又加入了额外的调整幅度约束：

\[ \hat{v}^{M_t}_i \ge \eta^{M_t}_{Input}\left(\sum_{h\in M_t}x_{ih}\right)v_i \]

\[ \hat{u}^{M_t}_r \ge \eta^{M_t}_{Output}\left(\sum_{h\in M_t}y_{rh}\right)u_r \]

其中：

\(\eta_{Input}\) 一般小于等于 1，用于限制投入不能降得过低；
\(\eta_{Output}\) 一般大于等于 1，用于限制产出调整范围。

这使得模型结果更接近现实管理约束。

六、模型约束的直观理解

从管理解释上看，本文模型中的约束可以理解为以下几类：

1. 统一权重评价约束

要求所有 DMU 在同一套权重下进行评价。

含义：

避免每个单位“各说各话”；
提高横向比较的一致性；
有利于多组合并同时分析。

2. 目标偏差约束

通过偏差变量 \(d_j\)、\(d_M\) 来表示各单位距离目标效率的差异。

含义：

偏差越小，说明离目标越近；
模型的求解目标就是让这些偏差尽量小。

3. 合并后投入上界约束

合并后的投入通常不能高于合并前各单位投入总和。

含义：

合并应体现资源整合潜力；
否则失去合并意义。

4. 合并后产出下界约束

合并后的产出至少不应低于合并前总量。

含义：

合并不应导致业务能力倒退；
更理想的情形是合并后实现更高产出。

5. 调整幅度控制约束

引入 \(\eta_{Input}\) 和 \(\eta_{Output}\) 后，模型不会给出过于极端的解。

含义：

防止把某些投入压缩得不切实际；
防止对某些产出提出过高目标；
让模型结果更容易转化为管理方案。

七、这篇文章的主要优点

优点1：从效率评价推进到目标设定

传统 DEA 多数停留在“评价谁更有效率”。

而本文进一步解决：

已知合并目标效率，如何反推出合并后的投入和产出目标？

因此它比单纯评价模型更接近管理决策场景。

优点2：统一权重下更便于并购比较

CSW 的引入，使不同 DMU 的评价口径一致。

这样在比较不同合并方案时，结果更具可解释性，也更适合管理汇报。

优点3：支持多组合并同时分析

这是本文非常突出的创新点。

在组织级资源重组中，管理者常常面对的是一组候选方案，而不是一个单点决策。本文模型可以在一个框架中同时分析多组合并方案，因此更有现实意义。

优点4：允许纳入管理者偏好

通过目标规划权重、偏差优先级以及输入输出调整幅度约束，模型能够体现决策者偏好，而不是只追求抽象数学最优。

优点5：结果可以直接转化为行动目标

模型输出的不是抽象效率值，而是：

合并后某项投入应控制到多少；
合并后某项产出应提高到多少；
在不同目标效率下，各变量如何变化。

因此其结果可直接用于：

合并后预算设计；
指标分解；
绩效目标设定；
重组方案比较。

八、这篇文章的局限与值得注意的问题

任何 DEA 模型都不是“万能工具”，本文也有一些需要注意的地方。

1. 结果依赖样本与指标设计

DEA 的前沿是由样本数据构成的，若投入产出指标选取不合理，模型结果也会受到影响。

2. 数学最优不必然等于管理最优

即便加入了调整幅度控制，模型仍然主要服务于定量分析，实际应用中还需要结合：

人员安置；
区域布局；
客户迁移成本；
监管要求；
组织治理结构。

3. 可能存在多重最优解

论文第 3.2 节明确指出：

Models (8) and (9) may have multiple optimal solutions.

也就是说，在同样的最小偏差下，可能有多组投入产出目标都满足最优条件。

这类现象在 DEA 与线性规划中并不罕见，原因包括：

目标函数只最小化偏差，没有唯一规定调整路径；
公共权重本身可能不唯一；
线性可行域可能形成一个最优面，而不是唯一最优点。

因此在复现时，往往需要进一步设置 tie-break 规则，来选择更稳定、更容易解释的一组结果。

九、本文的案例数据

论文采用的是 GCC 银行系统的 42 个银行网点数据。

投入指标包括：

I1：Interest Expenses（利息支出）
I2：Non-Interest Expenses（非利息支出）

产出指标包括：

O1：Interest Incomes（利息收入）
O2：Non-Interest Incomes（非利息收入）

附录 Table A1 中给出了：

42 个网点的原始投入产出数据；
在 VRS 假设下的效率值。

论文主要研究了以下几类合并场景：

单次合并： B2 与 B3；
两组合并： B2&B3 与 B8&B9；
三组合并： B2&B3、B8&B9、B17&B19。

十、复现实现说明

本次复现使用如下技术栈：

Julia
JuMP
HiGHS
XLSX / CSV / DataFrames

核心脚本包括：

reproduce_c2_tables.jl：主复现脚本；
diagnose_table4_tiebreaks.jl：多重最优与 tie-break 诊断脚本。

1. 数据读取

从 C2_appendixA_data_and_explanation.xlsx 中读取：

原始投入数据；
原始产出数据；
附录中的 VRS 效率值；
银行标签。

2. DEA 效率口径验证

代码中实现了 multiplier form DEA，并支持：

CRS；
VRS。

其中 VRS 结果用于与论文附录效率值对应，确保逆向模型使用的目标口径一致。

3. CSW-InvDEA 模型复现

主函数 solve_csw_invdea 实现了：

单组合并；
多组合并；
是否加入 \(\eta_{Input}\) 与 \(\eta_{Output}\)；
是否加入 tie-break 步骤。

4. 输出结果

代码将 Table 3–7 的复现结果导出为：

C2_reproduced_tables_3_7.xlsx
Table3_reproduced.csv
Table4_reproduced.csv
Table5_reproduced.csv
Table6_reproduced.csv
Table7_model9_reproduced.csv
Table7_modified_reproduced.csv

十一、复现结果展示与解释

下面对复现结果做简要说明。

1. Table 3：B2 与 B3 合并，原始 CSW-InvDEA 模型

当目标效率从 0.7 提升到 1.0 时，复现结果显示：

I1 基本保持不变；
I2 基本保持不变；
O2 基本保持不变；
O1 随目标效率上升而持续提高。

这说明在原始模型下，最优解更倾向通过提高第一类产出来实现更高目标效率。

2. Table 4：B2 与 B3 合并，加入调整幅度约束后的模型

设置：

\(\eta_{Input}=0.57\)
\(\eta_{Output}=1.84\)

之后，结果更受现实边界约束：

I2 被压缩到约 261.39；
O1 随目标效率提升而增加；
O2 保持稳定。

与 Table 3 相比，这类结果更具“可执行方案”的意味。

3. Table 5 与 Table 6：两组合并同时分析

在 B2&B3 与 B8&B9 同时进入模型后，结果表明：

模型可以在统一权重体系下同时给出两组合并目标；
原始模型与修改模型的目标结构存在明显差异；
引入现实约束后，结果更保守，也更符合管理解释。

4. Table 7：三组合并同时分析

这一部分体现了本文模型相比传统单次合并模型的明显优势：

可以在一个模型中同步研究多个合并组合的目标设定问题。

对于组织级整合、网点撤并、区域重构等场景，这一点尤其重要。

十二、复现结果表格摘录

Table 3：单次合并（B2&B3）

Target	I1	I2	O1	O2
0.70	786.438803	458.576481	1925.607723	849.936259
0.75	786.438803	458.576481	2055.666091	849.936259
0.80	786.438803	458.576481	2185.724460	849.936259
0.90	786.438803	458.576481	2445.841197	849.936259
1.00	786.438803	458.576481	2705.957934	849.936259

Table 4：单次合并（B2&B3）+ 修改模型

Target	I1	I2	O1	O2
0.70	786.438724	261.388594	1624.410537	849.936259
0.75	786.438724	261.388594	1732.954356	849.936259
0.80	786.438803	261.388594	1841.489450	849.936259
0.90	786.438803	261.388594	2058.576966	849.936259
1.00	786.438803	261.388594	2275.664482	849.936259

Table 5：两组合并同时分析

Branches	I1	I2	O1	O2
B2&B3	786.438803	458.576481	1873.584572	849.936259
B8&B9	26.400641	23.441330	525.979362	30.071791

Table 6：两组合并 + 修改模型

Branches	I1	I2	O1	O2
B2&B3	786.439526	261.388594	1581.002501	849.926259
B8&B9	15.048365	13.361558	124.399705	55.332095

Table 7：三组合并同时分析

Branches	I1	I2	O1	O2
B2&B3	786.438803	458.576481	1874.044458	849.926259
B8&B9	26.400641	23.441330	526.253148	30.081791
B17&B19	5292.377578	3894.976699	11336.877577	10378.451432

Table 7：三组合并 + 修改模型

Branches	I1	I2	O1	O2
B2&B3	786.443708	261.388594	1581.183676	849.926259
B8&B9	15.048365	13.361558	124.399702	55.332095
B17&B19	5292.377578	3894.976699	11336.877577	10378.451432

从这些结果可以看到，复现结果与论文表格在总体趋势上是一致的。

对于个别数值差异，需要注意：

求解器容差不同；
多重最优解下 tie-break 规则不同；
论文展示值与复现值可能对应不同的次优筛选策略。

十三、这个模型适用哪些场景？

虽然论文案例来自银行，但模型本身的适用范围并不局限于银行网点。

1. 银行业

邻近网点整合；
分支机构撤并；
区域网点资源重构；
合并后成本与收入目标设定。

2. 医疗系统

医院或分院整合；
科室合并；
区域医疗资源优化；
医疗机构重组后的指标设定。

3. 教育系统

学院合并；
校区资源重组；
区域学校整合；
教学科研资源目标配置。

4. 企业集团与公共部门

分公司合并；
区域机构重组；
公共服务机构整合；
重组后的预算与绩效目标设计。

一句话概括：

只要问题本质是“若干同类单位要整合，并希望在给定效率目标下反推资源配置”，本文模型就具有参考价值。

十四、总结

这篇文章的价值，不在于只是提出了一个新的 DEA 变形，而在于它把 DEA 从“事后评价工具”推进成了“事前规划工具”。

具体来说，它实现了三件非常重要的事：

从效率测度走向目标设定；
从单一方案走向多组合并同时分析；
从数学最优走向更接近管理可执行的目标设计。

因此，这篇文章特别适合用于：

DEA 模型复现；
并购分析案例展示；
合并后目标设计研究；
管理咨询中的定量支撑模型说明。

从复现角度看，这篇论文的结构清晰、案例完整、可展示性强，也很适合作为 DEA 逆向建模专题中的代表性案例。

十五、相关文件

当前目录下与本模型相关的文件包括：

C2.pdf
C2_模型说明与复现步骤.md
C2_reproduction_notes.md
reproduce_c2_tables.jl
diagnose_table4_tiebreaks.jl
C2_reproduced_tables_3_7.xlsx
Table3_reproduced.csv
Table4_reproduced.csv
Table5_reproduced.csv
Table6_reproduced.csv
Table7_model9_reproduced.csv
Table7_modified_reproduced.csv

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