今天推出的是存在共享投入的两阶段博弈交叉DEA模型。

网络 DEA 博弈交叉效率模型不仅适用于基本两阶段网络结构，还适用于多种网络结构，本文进一步将模型拓展为存在共享投入的两阶段DEA 博弈交叉效率模型。 存在共享投入的两阶段网络结构中，假设有 n 个 DMU;在第一阶段，$DMU_j(j=1,2,…,n)$用 m 种共享比例分别为$\alpha_{ij}(i=1,2,…,m)$的外源投入$x_ij(i=1,2,…,m)$产生 q 种产出$z_pj(p=1,2,…,q);$ 在第二阶段，$DMU_{j}(j=1,2,…,n)$用 m 种共享比例分别为的外源投入$$(1-\alpha_{i_{i}})$$,$x_{ij}(i=1,2,….,m)$和第一阶段的 q 种产出$z_{pj}(p=1,2,…,q)$产生 S 种产出$y_{rj}(r=1,2,….,s)$,这 S 种产出离开系统。其中，共享比例$\alpha_{i_i}(i=1,2,…,m)$是未知参数，管理者可根据现实情况设置共享比例的下界$L_{ij}$ 和上界$U_{ij}$。

其模型最终的规划式如下：
$$
\begin{array}{ll}\max & E_{d k}^{(g)}=\sum_{r=1}^{s} \mu_{r k}^{d(g)} y_{r k}+\sum_{p=1}^{q} \omega_{p k}^{d(g)} z_{p k} \\text { s.t. } & \sum_{i=1}^{m} v_{i k}^{d(g)} x_{i k}+\sum_{p=1}^{q} \omega_{p k}^{d(g)} z_{p k}=1, \& \sum_{p=1}^{q} \omega_{p k}^{d(g)} z_{p j}-\sum_{i=1}^{m} \beta_{i j}^{d(g)} x_{i j} \leq 0, j=1, \ldots, n, \& \sum_{r=1}^{s} \mu_{r k}^{d(g)} y_{r j}-\sum_{i=1}^{m} \nu_{i k}^{d(g)} x_{i j}+\sum_{i=1}^{m} \beta_{i j}^{d(g)} x_{i j}-\sum_{p=1}^{q} \omega_{p k}^{d(g)} z_{p j} \leq 0, j=1, \ldots, n \& E_{d}^{(g-1)} \sum_{i=1}^{m} v_{i k}^{d(g)} x_{i d}+\left(E_{d}^{(g-1)}-1\right) \sum_{p=1}^{q} \omega_{p k}^{d(g)} z_{p d}-\sum_{r=1}^{s} \mu_{r k}^{d(g)} y_{r d} \leq 0, \& L_{i j} \nu_{i k}^{d(g)} \leq \beta_{i j}^{d(g)} \leq U_{i j} \nu_{i k}^{d(g)}, i=1, \ldots, m ; j=1, \ldots, n, \& v_{i k}^{d(g)}, \omega_{p k}^{d(g)}, \mu_{r k}^{d(g)} \geq 0, \quad i=1, \ldots, m ; p=1, \ldots, q ; r=1, \ldots, s .\end{array}
$$
两阶段博弈DEA模型，由于需要大量计算，如有N个DMU，那么需要进行G*N^2次的线性规划，为了加快运行速度，在计算式采用文献中提供的新的算法设计。其具体思路如下：

第一步：将 g=1 时每个 DMU 博弈前的平均整体交叉效率设置为 0.001,即令 g=1 时(式 3.7)中$E_d^{( \mathbf{0} ) }= 0. 001$ $( d= 1, 2, . . . , n)$,并求解(式 3.7)至(式 3.11),计算$DMU_k(k=1,2,…,n)$第 1 次博弈后的平均整体交叉效率$E_k^{(\mathrm{l})}$、平均第一阶段交叉效率$E_k^{\mathrm{l}(\mathrm{l})}$以及平均第二阶段交叉效率$E_k^{2(\mathrm{l})};$
第二步：当 g=2 时，求解(式 3.7)至(式 3.11),计算$DMU_k(k=1,2,…,n)$第 g 次博弈后的平均整体交叉效率$E_k^{(2)}$、平均第一阶段交叉效率$E_k^{1(2)}$以及平均第二阶段交叉效率$E_k^{2( 2) }$ ;

第三步：当 g=3 时，令$E_k^{(3)}=\frac{E_k^{(1)}+E_k^{(2)}}2(k=1,2,…,n)$、$E_k^{1(3)}=\frac{E_k^{1(1)}+E_k^{1(2)}}2$

$(k=1,2,…,n)$和$E_{k}^{2(3)}=\frac{E_{k}^{2(1)}+E_{k}^{2(2)}}{2}\left(k=1,2,…,n\right);$

第四步：当$g\geq4$时，求解(式 3.7)至(式 3.11),计算 $DMU_k(k=1,2,…,n)$第 g 次博弈后的平均整体交叉效率$E_k^{(\mathrm{g})}$、平均第一阶段交叉效率$E_k^{1(\mathrm{s})}$以及平均第二阶段交叉效率$E_k^{2(g)};$
第五步：判断第四步每个$DMU_k(k=1,2,…,n)$的计算结果是否满足$\left|E_k^{(\mathrm{g}+1)}-E_k^{(\mathrm{g})}\right|\leq\varepsilon,\left|E_k^{\mathrm{l}(\mathrm{g}+1)}-E_k^{\mathrm{l}(\mathrm{g})}\right|\leq\varepsilon,\left|E_k^{2(\mathrm{g}+1)}-E_k^{2(\mathrm{g})}\right|\leq\varepsilon(k=1,2,…,n)$,若存在 DMU 不满足此三个不等式中的任一不等式则重复第四步，直到所有 DMU 都满足上述不等式。

关于该模型，使用matlab和julia分别完成了模型建模，均能得到和论文相同的结果（指总效率，分阶段效率有差异，但是排名与论文中的结果近似。这是由于最优解不唯一造成的。）

对比如下：

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参考文献：《网络DEA中的交叉效率及其应用研究》

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